📂確率分布論

多変量正規分布の線形変換

定理 ¹

線形変換の正規性

行列 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ と ベクトル $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}$ について、多変量正規分布に従う ランダムベクトル $\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right)$ の線形変換 $\mathbf{Y} = A \mathbf{X} + \mathbf{b}$ は、引き続き多変量正規分布 $N_{m} \left( A \mu + \mathbf{b} , A \Sigma A^{T} \right)$ に従う。

周辺分布の正規性

$$ \begin{align*} \mathbf{X} =& \begin{bmatrix} \mathbf{X}_{1} \\ \mathbf{X}_{2} \end{bmatrix} & : \Omega \to \mathbb{R}^{n} \\ \mu =& \begin{bmatrix} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{bmatrix} & \in \mathbb{R}^{n} \\ \Sigma =& \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix} & \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{align*} $$ こうして、$\mathbf{X}$、$\mu$、$\Sigma$ を ジョルダン標準形 で示したとする。もし、$\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu, \Sigma \right)$ ならば、その周辺ランダムベクトル の一つ、$X_{1}$ は多変量正規分布 $N_{m} \left( \mu_{1} , \Sigma_{11} \right)$ に従う。

証明

線形変換

多変量正規分布のモーメント生成関数：$X \sim N_{p} \left( \mu , \Sigma \right)$ のモーメント生成関数は以下の通りである。 $$ M_{X} \left( \mathbf{t} \right) = \exp \left( \mathbf{t}^{T} \mu + {{ 1 } \over { 2 }} \mathbf{t}^{T} \Sigma \mathbf{t} \right) \qquad , \mathbf{t} \in \mathbb{R}^{p} $$

多変量正規分布のモーメント生成関数から直接導出される。$\mathbf{Y}$ のモーメント生成関数は以下の通り。 $$ \begin{align*} M_{\mathbf{Y}} \left( \mathbf{t} \right) =& E \left[ \exp \left( \mathbf{t}^{T} \mathbf{Y} \right) \right] \\ =& E \left[ \exp \left( \mathbf{t}^{T} \left( A \mathbf{X} + \mathbf{b} \right) \right) \right] \\ =& E \left[ \exp \left( \mathbf{t}^{T} \mathbf{b} \right) \right] E \left[ \exp \left( \mathbf{t}^{T} A \mathbf{X} \right) \right] \\ =& \exp \left( \mathbf{t}^{T} \mathbf{b} \right) E \left[ \exp \left( \left( A^{T} \mathbf{t} \right) ^{T} \mathbf{X} \right) \right] \\ =& \exp \left( \mathbf{t}^{T} \mathbf{b} \right) \exp \left( \left( A^{T} \mathbf{t} \right) ^{T} \left( \mu + {{ 1 } \over { 2 }} \Sigma A^{T} \mathbf{t} \right) \right) \\ =& \exp \left( \mathbf{t}^{T} \mathbf{b} \right) \exp \left( \left( A^{T} \mathbf{t} \right) ^{T} \mu + {{ 1 } \over { 2 }} \left( \mathbf{t}^{T} A \Sigma A^{T} \mathbf{t} \right) \right) \\ =& \exp \left( \mathbf{t}^{T} \left( \mathbf{b} + A \mu \right) + {{ 1 } \over { 2 }} \left( \mathbf{t}^{T} A \Sigma A^{T} \mathbf{t} \right) \right) \end{align*} $$

これは$N_{m} \left( A \mu + \mathbf{b} , A \Sigma A^{T} \right)$ のモーメント生成関数と同一である。

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周辺分布

上記の定理の自明な帰結である。単位行列 $I_{m} \in \mathbb{R}^{m \times m}$ および 零行列 $O_{m(n-m)} \in \mathbb{R}^{m \times (n-m)}$ に関して、行列 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ を $$ A = \begin{bmatrix} I_{m} & O_{m(n-m)} \end{bmatrix} $$ のように定義すると自然に $$ \mathbf{X}_{1} = A \mathbf{X} $$ となる。このベクトルの一部成分を省略するマッピングは 自然射影 とも呼ばれる。

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