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非中心F分布 📂確率分布論

非中心F分布

定義

単一非中心F分布 1

自由度 r1,r2>0r_{1} , r_{2} > 0非中心性non-centrality λ10\lambda_{1} \ge 0 によって定義される連続確率分布 F(r1,r2,λ1)F \left( r_{1} , r_{2} , \lambda_{1} \right) の確率密度関数を持つ。この分布を単一非中心F分布と呼ぶ。

f(x)=k=0eλ/2(λ/2)kB(r22,r12+k)k!(r1r2)r12+k(r2r1x+r2)r1+r22+kxr121+k,x0 f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} {{ e^{ - \lambda / 2 } \left( \lambda / 2 \right)^{k} } \over { B \left( {{ r_{2} } \over { 2 }} , {{ r_{1} } \over { 2 }} + k \right) k ! }} \left( {{ r_{1} } \over { r_{2} }} \right)^{{{ r_{1} } \over { 2 }} + k} \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} x + r_{2} }} \right) ^{{{ r_{1} + r_{2} } \over { 2 }} + k} x^{{{ r_{1} } \over { 2 }} - 1 + k} \qquad , x \ge 0

二重非中心F分布 2

自由度 r1,r2>0r_{1} , r_{2} > 0非中心性non-centrality λ1,λ20\lambda_{1}, \lambda_{2} \ge 0 によって定義される連続確率分布 F(r1,r2,λ1,λ2)F \left( r_{1} , r_{2} , \lambda_{1}, \lambda_{2} \right) の確率密度関数を持つ。この分布を二重非中心F分布と呼ぶ。

f(x)=k=0l=0n1k+r12n2l+r22xk+n121λ1kλ2l2k+lk!!eλ1+λ22B(k+12r1,l+12r2),x0 f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{l=0}^{\infty} {{ n_{1}^{k + {{ r_{1} } \over { 2 }}} n_{2}^{l + {{ r_{2} } \over { 2 }}} x^{k + {{ n_{1} } \over { 2 }} - 1 } \lambda_{1}^{k} \lambda_{2}^{l} } \over { 2^{k+l} k!! e^{{{ \lambda_{1} + \lambda_{2} } \over { 2 }}} B \left( k + {{ 1 } \over { 2 }} r_{1} , l + {{ 1 } \over { 2 }} r_{2} \right) }} \qquad , x \ge 0


説明

非中心F分布は、F分布の一般化であり、単一形式では分子のみ、二重形式では分子と分母両方が非中心カイ二乗分布に従う。非中心性という用語は、非中心カイ二乗分布の直感的な導出から、正規分布に従う確率変数平均00 でないことに由来している。

非中心カイ二乗分布からの導出

XX非中心カイ二乗分布 χ2(r1,λ1)\chi^{2} \left( r_{1} , \lambda_{1} \right)に従い、YYカイ二乗分布 χ2(r2)\chi^{2} \left( r_{2} \right)に従うとする。すると、 X/r1Y/r2 {{ X / r_{1} } \over { Y / r_{2} }} は単一非中心F分布に従う。ここでYχ2(r2,λ2)Y \sim \chi^{2} \left( r_{2} , \lambda_{2} \right) であれば、この確率変数は二重非中心F分布に従う。つまり、分子のみが非中心カイ二乗分布に従う場合は単一、分子と分母の両方が従う場合は二重である。

参照

F分布

非中心カイ二乗分布


  1. Kay. (1998). Fundamentals of Statistical Signal Processing: Detection Theory: p29 ↩︎

  2. https://mathworld.wolfram.com/NoncentralF-Distribution.html ↩︎