非中心F分布
📂確率分布論非中心F分布
定義
単一非中心F分布
自由度 r1,r2>0 と非中心性non-centrality λ1≥0 によって定義される連続確率分布 F(r1,r2,λ1) の確率密度関数を持つ。この分布を単一非中心F分布と呼ぶ。
f(x)=k=0∑∞B(2r2,2r1+k)k!e−λ/2(λ/2)k(r2r1)2r1+k(r1x+r2r2)2r1+r2+kx2r1−1+k,x≥0
二重非中心F分布
自由度 r1,r2>0 と非中心性non-centrality λ1,λ2≥0 によって定義される連続確率分布 F(r1,r2,λ1,λ2) の確率密度関数を持つ。この分布を二重非中心F分布と呼ぶ。
f(x)=k=0∑∞l=0∑∞2k+lk!!e2λ1+λ2B(k+21r1,l+21r2)n1k+2r1n2l+2r2xk+2n1−1λ1kλ2l,x≥0
説明
非中心F分布は、F分布の一般化であり、単一形式では分子のみ、二重形式では分子と分母両方が非中心カイ二乗分布に従う。非中心性という用語は、非中心カイ二乗分布の直感的な導出から、正規分布に従う確率変数の平均が 0 でないことに由来している。
非中心カイ二乗分布からの導出
X が非中心カイ二乗分布 χ2(r1,λ1)に従い、Y がカイ二乗分布 χ2(r2)に従うとする。すると、
Y/r2X/r1
は単一非中心F分布に従う。ここでY∼χ2(r2,λ2) であれば、この確率変数は二重非中心F分布に従う。つまり、分子のみが非中心カイ二乗分布に従う場合は単一、分子と分母の両方が従う場合は二重である。
参照