📂確率分布論

なぜ正規分布인가

定義 ¹

ロケーション^location $\xi \in \mathbb{R}$とスケール^scale $\omega > 0$とシェイプ^shape $\alpha \in \mathbb{R}$に関する次のような確率密度関数を持つ確率分布 $SN \left( \xi , \omega , \alpha \right)$を歪正規分布^{skew Normal distribution}という。 $$ \begin{align*} f(x) =& {{ 2 } \over { \omega }} \phi \left( {{ x - \xi } \over { \omega }} \right) \Phi \left( \alpha {{ x - \xi } \over { \omega }} \right) \\ =& {{ 2 } \over { \omega \sqrt{2 \pi} }} e^{-{{ \left( x - \xi \right)^{2} } \over { 2 \omega^{2} }}} \int_{- \infty}^{\alpha {{ x - \xi } \over { \omega }}} {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} }} e^{- {{ t^{2} } \over { 2 }}} dt \end{align*} $$ ここで2つの関数 $\phi, \Phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$はそれぞれ標準正規分布の確率密度関数(pdf)、累積分布関数(cdf)です。

説明

歪正規分布は名前の通り歪度が$0$でない正規分布の一般化で、その翻訳は国内の学術雑誌を参考にした。²

コード

以下は歪正規分布の確率密度関数が$\alpha$に従ってどのように変化するかをアニメーションで視覚化するJuliaのコードです。

using Distributions, Plots

→ = 0:0.1:5
← = reverse(→)
a1 = @animate for α ∈ [→; ←; -→; -←]
    SN = SkewNormal(0, 1, α)
    x = -3:0.01:3
    plot(x, pdf.(SN, x),
    ylim = (0, 0.8),
    lw = 2, color = :black,
    legend = :none, title = "pdf of Skew Normal Distribution with α = $(lpad(α, 4))")
end
gif(a1, string(@__DIR__) * "/skew_normal.gif")