📂動力学

ポントリャーギンの最大値原理

モデル ¹

$$ {{ \partial n } \over { \partial t }} + {{ \partial n } \over { \partial a }} = - \mu \left( a \right) n \qquad t, a \in (0, \infty) $$ 上の偏微分方程式をフォン・フェルスター方程式^{von Foester equation}と言い、次の2つのディリクレ境界条件を持つ。

• 年齢構造の初期条件 $$ n \left( 0, a \right) = f(a) $$
• 出生数 $$ n \left( t, 0 \right) = \int_{0}^{\infty} b(a) n \left( t, a \right) da $$

変数

• $a$: 年齢を表す。例えば$a = 10$なら10歳、$a = 54$なら54歳だ。
• $n(t,a)$: $t$時点で年齢$a$の個体数を表す。

パラメータ

• $\mu (a) \ge 0$: 年齢$a$の個体の死亡率^{death rate}だ。
• $b (a) \ge 0$: 年齢$a$の個体の出生率^{birth rate}だ。

説明

フォン・フェルスター方程式は、数理生物学的に応用された一様進行波偏微分方程式であり、その解である$n(t,a)$は、時間$t$における年齢$a$の人口がどれだけいるかをモデリングしている。その動機はシンプルで、$t$が1だけ流れると、人口集団全体の年齢$a$も1だけ増加することが波の動きとして見られるからだ。さらに、波の減衰率は死亡率と見なせる。物理的な問題と異なるのは$a = 0$の境界が定数$0$ではなく $$ \int_{0}^{\infty} b(a) n \left( t, a \right) da $$ のような、各年齢の人口と出生率の関数内積によって与えられることである。時間が流れるということは、人口のメンバーが年を取ることを意味し、関数値が低下するということは、その分死亡するということだ。

ここでの人口はもちろん、生態学的な解釈も成り立つが、感染症と関連付けることもあり、感染症モデリングの文脈では、マッケンドリック・フォン・フェルスター方程式^{mcKendrick-Von Foerster equation}とも呼ぶ。

離散的年齢構造モデル

レズリーモデルが知られている。

導出

マルサス成長モデルによると、人口数$a$の人口数は、次のような常微分方程式で表される。 $$ {{ d n (t,a) } \over { d t }} = - \mu (a) n (t,a) \implies d n (t,a) = - \mu (a) n (t,a) dt $$ 一方で$n (t,a)$自体の全微分は $$ d n (t,a) = {{ \partial n } \over { \partial t }} dt + {{ \partial n } \over { \partial a }} da $$ であるから、次を得る。 $$ {{ \partial n } \over { \partial t }} dt + {{ \partial n } \over { \partial a }} da = - \mu (a) n (t,a) dt $$ 年齢の変化は時間の変化と完全に等しいので$da / dt = 1$であり、当然$dt / dt = 1$であるから、両辺から$dt$をキャンセルして、次の方程式を得ることができる。 $$ {{ \partial n } \over { \partial t }} + {{ \partial n } \over { \partial a }} = - \mu \left( a \right) n (t, a) $$

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