📂行列代数

三角行列の行列式

日本語訳

定理

三角行列の行列式は、対角成分の積で表される。

証明 ¹

一般性を失わないために、$A$が上三角行列だとしよう。

$$ A := \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

ラプラス展開: 正方行列 $A_{n \times n} = (a_{ij})$ が与えられているとする。正方行列 $A_{n \times n} = (a_{ij})$から$i$行目と$j$行目を取り除いた行列の行列式 $M_{ij}$ について、選ばれた$j$列に対する$C_{ij} := (-1)^{i + j} M_{ij}$を余因子と言う。次が成り立つ： $$ \det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $$

最上部の小行列式 $M_{1j}$を考えると、少なくとも$j \ne 1$である以上、最も左の列は零ベクトルでなければならず、それにより$M_{1j} = 0$となる。ラプラス展開を再帰的に適用することで、次を得る： $$ \begin{align*} \det A =& \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \\ =& a_{11} \det \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \\ =& a_{11} a_{22} \det \begin{bmatrix} a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \\ =& \prod_{i=1}^{n} a_{ii} \end{align*} $$

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