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積空間の基本群は基本群の積と同型である 📂位相データ分析

積空間の基本群は基本群の積と同型である

定理

X,YX, Y位相空間としよう。その(位相学的)デカルト積基本群と、それぞれの成分の群のデカルト積同型である。 π1(X×Y,(x0,y0))π1(X,x0)×π1(Y,y0) \pi_{1} \left( X \times Y , \left( x_{0} , y_{0} \right) \right) \simeq \pi_{1} \left( X, x_{0} \right) \times \pi_{1} \left( Y, y_{0} \right) 特にX,YX, Yが全部道連結であれば、以下のように基点を省略できる。 π1(X×Y)π1(X)×π1(Y) \pi_{1} \left( X \times Y \right) \simeq \pi_{1} \left( X \right) \times \pi_{1} \left( Y \right)

証明 1

位相空間のデカルト積に関する基本的な性質で、次の二つは同値だ。

  • f:ZX×Yf : Z \to X \times Yが連続である。
  • f(z)=(g(z),h(z))f(z) = \left( g(z) , h(z) \right)g:ZXg : Z \to Xh(z):ZYh(z) : Z \to Yが両方とも連続である。

したがって、ffX×YX \times Yを基点とするということは、二つのパスg,hg, hがそれぞれx0Xx_{0} \in Xy0Yy_{0} \in Yを基点とするということと同値である。この議論はホモトピーF:I2ZF : I^{2} \to ZG:I2XG : I^{2} \to XH:I2YH: I^{2} \to Yについても同様だ。したがって ϕ:π1(X×Y,(x0,y0))π1(X,x0)×π1(Y,y0) \phi : \pi_{1} \left( X \times Y , \left( x_{0} , y_{0} \right) \right) \to \pi_{1} \left( X, x_{0} \right) \times \pi_{1} \left( Y, y_{0} \right) ϕ:[f]([g],[h])\phi : [f] \mapsto \left( [g] , [h] \right)と定義すると、これは自明に群の準同型であり、ϕ\phi全単射であるため、同型にもなる。


  1. Hatcher. (2002). Algebraic Topology: p34. ↩︎