積空間の基本群は基本群の積と同型である
📂位相データ分析積空間の基本群は基本群の積と同型である
定理
X,Yを位相空間としよう。その(位相学的)デカルト積の基本群と、それぞれの成分の群のデカルト積は同型である。
π1(X×Y,(x0,y0))≃π1(X,x0)×π1(Y,y0)
特にX,Yが全部道連結であれば、以下のように基点を省略できる。
π1(X×Y)≃π1(X)×π1(Y)
証明
位相空間のデカルト積に関する基本的な性質で、次の二つは同値だ。
- f:Z→X×Yが連続である。
- f(z)=(g(z),h(z))でg:Z→Xとh(z):Z→Yが両方とも連続である。
したがって、fがX×Yを基点とするということは、二つのパスg,hがそれぞれx0∈Xとy0∈Yを基点とするということと同値である。この議論はホモトピーF:I2→Z、G:I2→X、H:I2→Yについても同様だ。したがって
ϕ:π1(X×Y,(x0,y0))→π1(X,x0)×π1(Y,y0)
をϕ:[f]↦([g],[h])と定義すると、これは自明に群の準同型であり、ϕが全単射であるため、同型にもなる。
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