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連続関数の相対的ホモトピー 📂位相データ分析

連続関数の相対的ホモトピー

定義 1

ホモトピーの一般化

  1. I=[0,1]I = [0,1] を単位区間、X,YX, Y位相空間とする。二つの連続写像 f0,f1:XYf_{0} , f_{1} : X \to Y に対し、 F(x,0)=f0(x)F(x,1)=f1(x) F (x , 0) = f_{0} (x) \\ F (x , 1) = f_{1} (x) を満たす連続写像 F:X×YF : X \times Y が存在する場合、f0,f1f_{0}, f_{1}ホモトピックであるといい、FFf0f_{0}f1f_{1} の間のホモトピーと呼ぶ。

相対的ホモトピー

  1. XX部分集合 AXA \subset X に対し、 F(a,t)=f0(a),aA,tI F(a,t) = f_{0} (a) \qquad , \forall a \in A , \forall t \in I を満たすf0f_{0}f1f_{1} の間のホモトピー F:X×IYF : X \times I \to Y が存在する場合、f0f_{0}f1f_{1}AA に相対的にホモトピックであると言う。

説明

  1. ホモトピーの一般化は、単にパスに定義されたホモトピー連続写像に一般化したものに過ぎない。 F:I×IY F : I \times I \to Y のようなホモトピーが二つのパス f0:IYf_{0} : I \to Yf1:IYf_{1} : I \to Y の間に存在したのと同様に、この度は単に定義域が以前の区間 I=[0,1]I = [0,1] から一般的な位相空間 XX へと拡張されただけである。 F:X×IY F : X \times I \to Y
  2. 相対的ホモトピーの定義により、全ての aAa \in Af0(a)=f1(a)f_{0} (a) = f_{1} (a) であり、FFAA に相対的なホモトピーと呼び、f0rel Af1f_{0} \simeq_{\text{rel } A} f_{1}f0 f1(rel A)f_{0} \simeq\ f_{1} (\text{rel } A) のように表現することもできる。ホモトピーが相対的であるということは、単に AA では変化がなく、固定されているということに過ぎない。当然だが、定義から’相対的’という表現を無くすには、単に A=A = \empty であれば良い。
  3. 実際の文書で相対的ホモトピーが最もよく使われる方法は、ホモトピーそのものである。単位区間 [0,1][0,1] の両端点 {0,1}\left\{ 0,1 \right\} でだけ等しいということを表現するために、以下のような表記をよく見ることができる。 f{0,1}g f \simeq_{\left\{ 0,1 \right\}} g

  1. Kosniowski. (1980). A First Course in Algebraic Topology: p111. ↩︎