代数的トポロジーにおけるリフティング定理の証明
📂位相データ分析代数的トポロジーにおけるリフティング定理の証明
定理
カバーとリフトの定義: 単位区間をI=[0,1]のように表す。
- XのオープンセットU⊂Xが**pによって均等にカバーされる**evenly Covered by pとは、全てのα∈∀に対応する全ての制限関数p∣Uαがホメオモルフィズムであり
α1=α2⟹Uα1∩Uα2=∅
を満たす、つまり互いに素なXのオープンセットUα⊂Xについて
p−1(U)=α∈∀⨆Uα
が成り立つことを意味する。
- p:X→Xが全射関数であり、全てのx∈Xに対してpによって均等にカバーされるxのオープンネイバーフッドUx⊂Xが存在する場合、p:X→Xをカバーcoveringという。
- カバーpの定義域Xをカバースペースcovering space、値域Xをベーススペースbase spaceという。
- n∈Nとする。f:In→Xとf:In→Xが次を満たす場合、fをfのリフトliftという。
f=p∘f
1-スフィアS1を値域に持つカバーをp:R→S1としよう。

パスリフティング定理
連続関数f:I→S1はリフトf:I→Rを持つ。特に与えられたx0∈S1とx0∈p−1(x0)に対して、f(0)=x0であるfは一意に存在する。
ホモトピー・リフティング定理
連続関数F:I2→S1はリフトF:I2→Rを持つ。特に与えられたx0∈S1とx0∈p−1(x0)に対して、F(0,0)=x0であるFは一意に存在する。
説明
リフティング定理lifting theoremは一般に単位円S1の性質を研究するための補助定理として言及され、形式的にformally見た場合、パスリフティングか、ホモトピー・リフティングかという区別はあまり意味がない。
むしろ、ほとんどの数学者が気にすべき質問はX=S1であるf:Im→Xに対する一般化が可能かという点であり、実際にはコンパクト空間Yに対する連続関数f:Y×Im→Xに対するリフティング定理まで論じることができる。ただし、このような拡張が実際には全く役に立たないため、直接学ぶには過剰だと言われている。
証明
戦略: パスリフティング定理のみを証明する。本質的にホモトピー・リフティング定理の証明はパスリフティング定理の証明と同じである。パスリフティング定理ではコンパクト空間であるIから区間を有限に分割して証明するように、ホモトピー・リフティング定理では同様にコンパクトな空間であるI2を有限に分割して同じ議論を繰り返す。
Part 1. 設定
- p:X→Xが全射関数であり、全てのx∈Xに対してpによって均等にカバーされるxのオープンネイバーフッドUx⊂Xが存在する場合、p:X→Xをカバーcoveringという。
p:R→S1はカバーとされているので、全てのx∈S1に対してpによって均等にカバーされるxのネイバーフッドUx⊂S1が存在する。

I=[0,1]はコンパクトなのでI⊂⋃k=1n[ak−1,ak]を満たすような有限の点の集合{ak}k=0n⊂Iが存在し、
0=a0<a1<⋯<an−1<an=1
その区間[ak−1,ak]⊂Iに対するfのイメージはS1に含まれ、特にあるオープンセットU⊂S1に対して以下の包含関係を満たす。
f([ak−1,ak])⊂U⊂S1

このようなUに対するカバーpの互いに素なプレイメージをUt:=p−1(Ut)とすれば、それぞれt∈Zに対してUとホメオモルフィックである。
Part 2. 帰納的構築
任意のx∈S1ではなく、具体的にx0∈S1を選び、そのpのプレイメージの要素の一つをx0:=p−1(x0)∈Rと表す。元の設定によれば、これらの要素の集合はZとの間に全単射が存在するが、どれがどうであれ関係ない。
私たちはI全体ではなく、[0,ak]に対してfk(0)=x0を満たすリフトfkを帰納的に定義して、結果的にfを見つけようとしている。
- k=0の場合は単にf0(0)=x0とし、他に選択肢はない。
- k=0の場合、連続関数fk:[0,ak]→Rが一意に定義されると仮定する。
- ある一意のU∈{Ut}t∈Zに対してf(ak)∈Uである。
- fkは連続であり、区間[ak,ak+1]は経路連結であるため、fkの拡張関数fk+1がどのように定義されても、少なくとも[ak,ak+1]は必ずU内にマッピングされなければならない。
- pがカバーであるため、全てのt∈Zに対してホメオモルフィズムp∣Ut:Ut→Uが存在し、それにより
p∘ρk=f∣[ak,ak+1]
を満たす一意の関数ρk:[ak,ak+1]→Uが存在する。このような関数ρkの存在は、pの制限関数がホメオモルフィズムであること―すなわち単射であることに基づくため、ρk(ak)=fk(ak)であり、ρkの連続性も保証される。
接着補題: 位相空間X,Yに対して、二つの閉集合A,B⊂XがA∪B=Xを満たし、二つの連続関数f:A→Yとg:B→Yが全てのx∈A∩Bに対してf(x)=g(x)であるとする。すると、以下のように定義されたhは連続関数である。
h(x):={f(x),g(x),x∈Ax∈B
- 接着補題により、以下のような連続関数fk+1:[0,ak+1]→Rを一意に定義できる。
fk+1:={fk(s)ρk(s),if s∈[0,ak],if s∈[ak,ak+1]
数学的帰納法により、S1はt∈Z周回する螺旋に向かうリフトが具体的に存在する。ここで、k=0,1,⋯,nはRで上下に動くインデックスではなく、S1を回転させながら有限に分割するインデックスであることをよく想像しなければならない。kが1ずつ増えるごとに、Rでは整数の数だけ多くの区間の集合{Ut}t∈Zも同様に回転して動く。
Part 3. ホモトピー・リフティング定理
- 0からn−1までの整数を集めた集合{0,1,⋯,n−1}を簡単に0:nと書こう。
Iがコンパクトであることに基づいて0=a0<⋯<an=1を選べたように、I2もコンパクトであるため、
0=a0<⋯<an=10=b0<⋯<bm=1
のように正方形を格子に切る有限の二つの自然数n,m∈Nが存在し、それぞれの小さなマスをi=0:n、j=0:mに対して
Ri,j:=[ai−1,ai]×[bj−1,bj]⊂I2
と定義すると、
R0,0,R0,1,⋯,R0,m,R1,0⋯,Rn,m
のような小さな長方形のシーケンスが得られる。これに対してパスリフティング定理で行った議論を繰り返せば、ホモトピー・リフティング定理が証明される。
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