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代数的トポロジーにおけるリフティング定理の証明 📂位相データ分析

代数的トポロジーにおけるリフティング定理の証明

定理 1 2

カバーとリフトの定義: 単位区間をI=[0,1]I = [0,1]のように表す。

  1. XXオープンセットUXU \subset Xが**ppによって均等にカバーされる**evenly Covered by ppとは、全てのα\alpha \in \forallに対応する全ての制限関数pU~αp |_{\widetilde{U}_{\alpha}}ホメオモルフィズムであり α1α2    U~α1U~α2= \alpha_{1} \ne \alpha_{2} \implies \widetilde{U}_{\alpha_{1}} \cap \widetilde{U}_{\alpha_{2}} = \emptyset を満たす、つまり互いに素X~\widetilde{X}オープンセットU~αX~\widetilde{U}_{\alpha} \subset \widetilde{X}について p1(U)=αU~α p^{-1} \left( U \right) = \bigsqcup_{\alpha \in \forall} \widetilde{U}_{\alpha} が成り立つことを意味する。
  2. p:X~Xp : \widetilde{X} \to X全射関数であり、全てのxXx \in Xに対してppによって均等にカバーされるxxオープンネイバーフッドUxXU_{x} \subset Xが存在する場合、p:X~Xp : \widetilde{X} \to Xカバーcoveringという。
  3. カバーppの定義域X~\widetilde{X}カバースペースcovering space、値域XXベーススペースbase spaceという。
  4. nNn \in \mathbb{N}とする。f:InXf : I^{n} \to Xf~:InX~\widetilde{f} : I^{n} \to \widetilde{X}が次を満たす場合、f~\widetilde{f}ffリフトliftという。 f=pf~ f = p \circ \widetilde{f}

11-スフィアS1S^{1}値域に持つカバーp:RS1p : \mathbb{R} \to S^{1}としよう。

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パスリフティング定理

連続関数f:IS1f : I \to S^{1}リフトf~:IR\widetilde{f} : I \to \mathbb{R}を持つ。特に与えられたx0S1x_{0} \in S^{1}x~0p1(x0)\widetilde{x}_{0} \in p^{-1} \left( x_{0} \right)に対して、f~(0)=x~0\widetilde{f} \left( 0 \right) = \widetilde{x}_{0}であるf~\widetilde{f}は一意に存在する。

ホモトピー・リフティング定理

連続関数F:I2S1F : I^{2} \to S^{1}リフトF~:I2R\widetilde{F} : I^{2} \to \mathbb{R}を持つ。特に与えられたx0S1x_{0} \in S^{1}x~0p1(x0)\widetilde{x}_{0} \in p^{-1} \left( x_{0} \right)に対して、F~(0,0)=x~0\widetilde{F} \left( 0 , 0 \right) = \widetilde{x}_{0}であるF~\widetilde{F}は一意に存在する。

説明

リフティング定理lifting theoremは一般に単位円S1S^{1}の性質を研究するための補助定理として言及され、形式的にformally見た場合、パスリフティングか、ホモトピー・リフティングかという区別はあまり意味がない。

むしろ、ほとんどの数学者が気にすべき質問はXS1X \ne S^{1}であるf:ImXf: I^{m} \to Xに対する一般化が可能かという点であり、実際にはコンパクト空間YYに対する連続関数f:Y×ImXf: Y \times I^{m} \to Xに対するリフティング定理まで論じることができる。ただし、このような拡張が実際には全く役に立たないため、直接学ぶには過剰だと言われている。

証明

戦略: パスリフティング定理のみを証明する。本質的にホモトピー・リフティング定理の証明はパスリフティング定理の証明と同じである。パスリフティング定理ではコンパクト空間であるIIから区間を有限に分割して証明するように、ホモトピー・リフティング定理では同様にコンパクトな空間であるI2I^{2}を有限に分割して同じ議論を繰り返す。


Part 1. 設定

  1. p:X~Xp : \widetilde{X} \to X全射関数であり、全てのxXx \in Xに対してppによって均等にカバーされるxxオープンネイバーフッドUxXU_{x} \subset Xが存在する場合、p:X~Xp : \widetilde{X} \to Xカバーcoveringという。

p:RS1p : \mathbb{R} \to S^{1}カバーとされているので、全てのxS1x \in S^{1}に対してppによって均等にカバーされるxxのネイバーフッドUxS1U_{x} \subset S^{1}が存在する。

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I=[0,1]I = [0,1]コンパクトなのでIk=1n[ak1,ak]I \subset \bigcup_{k=1}^{n} \left[ a_{k-1} , a_{k} \right]を満たすような有限の点の集合{ak}k=0nI\left\{ a_{k} \right\}_{k=0}^{n} \subset Iが存在し、 0=a0<a1<<an1<an=1 0 = a_{0} < a_{1} < \cdots < a_{n-1} < a_{n} = 1 その区間[ak1,ak]I\left[ a_{k-1} , a_{k} \right] \subset Iに対するffのイメージはS1S^{1}に含まれ、特にあるオープンセットUS1U \subset S^{1}に対して以下の包含関係を満たす。 f([ak1,ak])US1 f \left( \left[ a_{k-1} , a_{k} \right] \right) \subset U \subset S^{1} 20220422_171000.png

このようなUUに対するカバーpp互いに素なプレイメージをU~t:=p1(Ut)\widetilde{U}_{t} := p^{-1} \left( U_{t} \right)とすれば、それぞれtZt \in \mathbb{Z}に対してUUホメオモルフィックである。


Part 2. 帰納的構築

任意のxS1x \in S^{1}ではなく、具体的にx0S1x_{0} \in S^{1}を選び、そのppのプレイメージの要素の一つをx~0:=p1(x0)R\widetilde{x}_{0} := p^{-1} \left( x_{0} \right) \in \mathbb{R}と表す。元の設定によれば、これらの要素の集合はZ\mathbb{Z}との間に全単射が存在するが、どれがどうであれ関係ない。

私たちはII全体ではなく、[0,ak]\left[ 0, a_{k} \right]に対してf~k(0)=x~0\widetilde{f}_{k} (0) = \widetilde{x}_{0}を満たすリフトf~k\widetilde{f}_{k}を帰納的に定義して、結果的にf~\widetilde{f}を見つけようとしている。

  • k=0k = 0の場合は単にf~0(0)=x~0\widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{x}_{0}とし、他に選択肢はない。
  • k0k \ne 0の場合、連続関数f~k:[0,ak]R\widetilde{f}_{k} : \left[ 0 , a_{k} \right] \to \mathbb{R}が一意に定義されると仮定する。
    • ある一意のU~{U~t}tZ\widetilde{U} \in \left\{ \widetilde{U}_{t} \right\}_{t \in \mathbb{Z}}に対してf~(ak)U~\widetilde{f} \left( a_{k} \right) \in \widetilde{U}である。
    • f~k\widetilde{f}_{k}連続であり、区間[ak,ak+1]\left[ a_{k} , a_{k+1} \right]経路連結であるため、f~k\widetilde{f}_{k}拡張関数f~k+1\widetilde{f}_{k+1}がどのように定義されても、少なくとも[ak,ak+1]\left[ a_{k} , a_{k+1} \right]は必ずU~\widetilde{U}内にマッピングされなければならない。
    • ppがカバーであるため、全てのtZt \in \mathbb{Z}に対してホメオモルフィズムpU~t:U~tUp | \widetilde{U}_{t} : \widetilde{U}_{t} \to Uが存在し、それにより pρk=f[ak,ak+1] p \circ \rho_{k} = f | \left[ a_{k} , a_{k+1} \right] を満たす一意の関数ρk:[ak,ak+1]U~\rho_{k} : \left[ a_{k} , a_{k+1} \right] \to \widetilde{U}が存在する。このような関数ρk\rho_{k}の存在は、ppの制限関数がホメオモルフィズムであること―すなわち単射であることに基づくため、ρk(ak)=f~k(ak)\rho_{k} \left( a_{k} \right) = \widetilde{f}_{k} \left( a_{k} \right)であり、ρk\rho_{k}の連続性も保証される。

    接着補題: 位相空間X,YX,Yに対して、二つの閉集合A,BXA,B \subset XAB=XA \cup B = Xを満たし、二つの連続関数f:AYf : A \to Yg:BYg : B \to Yが全てのxABx \in A \cap Bに対してf(x)=g(x)f(x) = g(x)であるとする。すると、以下のように定義されたhh連続関数である。 h(x):={f(x),xAg(x),xB h(x) : = \begin{cases} f(x), & x \in A \\ g(x), & x \in B \end{cases}

    • 接着補題により、以下のような連続関数f~k+1:[0,ak+1]R\widetilde{f}_{k+1} : \left[ 0 , a_{k+1} \right] \to \mathbb{R}を一意に定義できる。 f~k+1:={f~k(s),if s[0,ak]ρk(s),if s[ak,ak+1] \widetilde{f}_{k+1} := \begin{cases} \widetilde{f}_{k} (s) & , \text{if } s \in \left[ 0, a_{k} \right] \\ \rho_{k} (s) & , \text{if } s \in \left[ a_{k} , a_{k+1} \right] \end{cases}

数学的帰納法により、S1S^{1}tZt \in \mathbb{Z}周回する螺旋に向かうリフトが具体的に存在する。ここで、k=0,1,,nk = 0, 1, \cdots , nR\mathbb{R}で上下に動くインデックスではなく、S1S^{1}を回転させながら有限に分割するインデックスであることをよく想像しなければならない。kk11ずつ増えるごとに、R\mathbb{R}では整数の数だけ多くの区間の集合{U~t}tZ\left\{ \widetilde{U}_{t} \right\}_{t \in \mathbb{Z}}も同様に回転して動く。


Part 3. ホモトピー・リフティング定理

  • 00からn1n-1までの整数を集めた集合{0,1,,n1}\left\{ 0, 1, \cdots , n-1 \right\}を簡単に0:n0:nと書こう。

IIがコンパクトであることに基づいて0=a0<<an=10 = a_{0} < \cdots < a_{n} = 1を選べたように、I2I^{2}コンパクトであるため、 0=a0<<an=10=b0<<bm=1 \begin{align*} 0 = a_{0} < \cdots < a_{n} = 1 \\ 0 = b_{0} < \cdots < b_{m} = 1 \end{align*} のように正方形を格子に切る有限の二つの自然数n,mNn , m \in \mathbb{N}が存在し、それぞれの小さなマスをi=0:ni = 0:nj=0:mj = 0:mに対して Ri,j:=[ai1,ai]×[bj1,bj]I2 R_{i,j} := \left[ a_{i-1}, a_{i} \right] \times \left[ b_{j-1} , b_{j} \right] \subset I^{2} と定義すると、 R0,0,R0,1,,R0,m,R1,0,Rn,m R_{0,0} , R_{0,1} , \cdots , R_{0,m} , R_{1,0} \cdots, R_{n,m} のような小さな長方形のシーケンスが得られる。これに対してパスリフティング定理で行った議論を繰り返せば、ホモトピー・リフティング定理が証明される。


  1. Kosniowski. (1980). A First Course in Algebraic Topology: p137~138. ↩︎

  2. Hatcher. (2002). Algebraic Topology: p29~31. ↩︎