📂位相データ分析

代数トポロジーにおける被覆と持ち上げ

定義 ^{1 2}

二つの位相空間$\widetilde{X}, X$に対して、$p : \widetilde{X} \to X$が連続関数であるとしよう。任意の添字集合を$\forall$のように示し、$\widetilde{U}_{\alpha} \subset \widetilde{X}$から$p$への制限関数を単に$p |_{\widetilde{U}_{\alpha}} : \widetilde{U}_{\alpha} \to U$のように書こう。

• $I = [0,1]$は$0$から$1$までの単位区間だ。
• $\bigsqcup$は互いに素な集合の和集合を表す。

カバーリング

1. $X$の開集合$U \subset X$が**$p$によって均等にカバーされる**^{evenly Covered by $p$}ということは、全ての$\alpha \in \forall$に対応する全ての制限関数$p |_{\widetilde{U}_{\alpha}}$がホメオモーフィズムであり $$\alpha_{1} \ne \alpha_{2} \implies \widetilde{U}_{\alpha_{1}} \cap \widetilde{U}_{\alpha_{2}} = \emptyset$$ を満たす、つまり、 $$p^{-1} \left( U \right) = \bigsqcup_{\alpha \in \forall} \widetilde{U}_{\alpha}$$ が$\widetilde{X}$の互いに素な開集合$\widetilde{U}_{\alpha} \subset \widetilde{X}$について成り立つことを意味する。
2. $p : \widetilde{X} \to X$が全射関数であり、全ての$x \in X$に対して$p$によって均等にカバーされる$x$の開近傍$U_{x} \subset X$が存在するならば、$p : \widetilde{X} \to X$をカバーリングという。
3. カバーリング$p$の定義域$\widetilde{X}$をカバーリングスペース、値域$X$をベーススペースという。

リフト

4. $n \in \mathbb{N}$とする。$f : I^{n} \to X$と$\widetilde{f} : I^{n} \to \widetilde{X}$が次を満たすなら、$\widetilde{f}$を$f$のリフトという。 $$f = p \circ \widetilde{f}$$

例

数学的な定義は難しすぎるので、$X = S^{1}$と$\widetilde{X} = \mathbb{R}$の単純な例を考えてみよう。率直に言って、定義の中のカバーリングとリフトは、この例の一般化レベルだ。

直感的なリフト

$\widetilde{X} = \mathbb{R}$と書いたが、図では$\mathbb{R}^{3}$に埋め込まれた螺旋として表され、これは螺旋$h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{3}$について $$s \mapsto \left( \cos 2 \pi s, \sin 2 \pi s , s \right)$$ と表すのと同じだ。今、$I = [0,1]$から$\mathbb{R}$へのパスを $$\widetilde{\omega}_{n} (s) := ns$$ と定義すれば、これは$0$から始まって$n$で終わり、螺旋を$n \in \mathbb{Z}$周巻き付けることになる。一方、スフィア$S^{1}$は $$\omega_{n} (s) := \left( \cos 2 \pi n s , \sin 2 \pi n s \right)$$ 次元での単位円として表すことができ、自然にプロジェクション^projection$p : (x,y,z) \mapsto (x,y)$はカバーリングとなる。直感的に見ると、$p$は解かれた螺旋を平面に送る投影であり、逆に$\widetilde{\omega}_{n}$は無数に重なった$\omega_{n}$を立体空間に引き上げたもので、これをリフトと呼ぶのが適切だ。数式で表すと $$\omega_{n} = p \circ \widetilde{\omega}_{n}$$ になる。今、定義を見直すと、今までの$I^{1}$は一つの直感的な例で、リストされた条件を全て満たせば、それらをカバーリングやリフトと呼ぶ理由はない。代数位相の文脈では、$I^{2}$でのリフト、つまりホモトピー$H : I^{2} \to X$のリフトを考えるのがすぐに思い浮かぶ可能性がある。

均等カバーが難しすぎる

定義で均等なカバーが非常に難しく書かれているが、直感的に考えれば実は単純な概念だ。

$U \subset S^{1}$の逆像は螺旋上で$\widetilde{U}_{k}$として互いに素な集合たちの和集合として表現され、その各々は小さな断片$U$とホメオモーフィックだ。ただし、この例では運良く整数$k$に対応するように添字が与えられ、形も単純だが、実際には定義どおり添字集合$\forall$がどれほど奇怪であるか予想もできない。だから、ほとんどの数学者が簡単で直接的な定義を好むにもかかわらず、均等なカバーの記述に関しては妥協が難しい。