球体の慣性モーメント
公式
半径が$a$、質量が$m$の球の慣性モーメントは以下の通りだ。
$$ I=\frac{2}{5}ma^{2} $$
証明
球の慣性モーメントを求めるアイデアは他の剛体とは少し異なる。キーとなるアイデアは、積分法に似た方法で、球を無数の円盤の和と考えることだ。
この無数の円盤の慣性モーメントを全部足し合わせると、球の慣性モーメントになる。軸と垂直な円盤の慣性モーメントは$I = \dfrac{1}{2}mr^{2}$（$r=$半径、$m=$質量）なので、球の慣性モーメントは以下のように求められる。
$$ I_{\text{sphere}} = \int dI = \int \frac{1}{2}r^{2} dm $$
これで計算するのは終わりだ。
$$ \begin{align*} I_{z} &= \int \frac{1}{2}r^{2}dm=\int_{-a}^{a} \frac{1}{2}x^{2} \rho\pi x^{2} dz \\ &= \int_{-a}^{a} \frac{1}{2}\rho\pi x^{4} dz \\ &= \frac{1}{2} \rho \pi\int_{-a}^{a} (a^{2}-z^{2})^{2}dz \\ &= \frac{1}{2} \rho\pi \int_{-a}^{a} (a^{4}-2a^{2}z^{2}+z^{4})dz \\ &= \frac{1}{2} \rho \pi \left[ a^{4}z-\frac{2}{3}a^{2}z^{3}+\frac{1}{5}z^{5} \right]_{-a}^{a} \\ &= \frac{1}{2} \rho \pi \left(2a^{5}-\frac{4}{3}a^{5}+\frac{2}{5}a^{5} \right) \\ &= \rho \pi \left(a^{5}-\frac{2}{3}a^{5}+\frac{1}{5}a^{5} \right) \\ &= \rho \pi \frac{8}{15}a^{5} \end{align*} $$
そして、球の質量は$m = \rho \pi \dfrac{4}{3} a^{3}$なので、$I_{z}$を代入すると以下のようになる。
$$ I_{z} = \rho \pi \frac{8}{15} a^{5} = \left( \rho \pi \frac{4}{3}a^{3} \right) \left( \dfrac{2}{5}a^{2} \right) = \frac{2}{5}ma^{2} $$
さらに、球は全ての方向で対称であるため、以下の結果を得る。
$$ I_{x} = I_{y} = I_{z} $$
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