球体の慣性モーメント
📂古典力学球体の慣性モーメント
公式
半径がa、質量がmの球の慣性モーメントは以下の通りだ。
I=52ma2
証明
球の慣性モーメントを求めるアイデアは他の剛体とは少し異なる。キーとなるアイデアは、積分法に似た方法で、球を無数の円盤の和と考えることだ。

この無数の円盤の慣性モーメントを全部足し合わせると、球の慣性モーメントになる。軸と垂直な円盤の慣性モーメントはI=21mr2(r=半径、m=質量)なので、球の慣性モーメントは以下のように求められる。
Isphere=∫dI=∫21r2dm

これで計算するのは終わりだ。
Iz=∫21r2dm=∫−aa21x2ρπx2dz=∫−aa21ρπx4dz=21ρπ∫−aa(a2−z2)2dz=21ρπ∫−aa(a4−2a2z2+z4)dz=21ρπ[a4z−32a2z3+51z5]−aa=21ρπ(2a5−34a5+52a5)=ρπ(a5−32a5+51a5)=ρπ158a5
そして、球の質量はm=ρπ34a3なので、Izを代入すると以下のようになる。
Iz=ρπ158a5=(ρπ34a3)(52a2)=52ma2
さらに、球は全ての方向で対称であるため、以下の結果を得る。
Ix=Iy=Iz
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