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球体の慣性モーメント 📂古典力学

球体の慣性モーメント

公式

半径がaa、質量がmmの球の慣性モーメントは以下の通りだ。

I=25ma2 I=\frac{2}{5}ma^{2}

証明

球の慣性モーメントを求めるアイデアは他の剛体とは少し異なる。キーとなるアイデアは、積分法に似た方法で、球を無数の円盤の和と考えることだ。

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この無数の円盤の慣性モーメントを全部足し合わせると、球の慣性モーメントになる。軸と垂直な円盤の慣性モーメントI=12mr2I = \dfrac{1}{2}mr^{2}r=r=半径、m=m=質量)なので、球の慣性モーメントは以下のように求められる。

Isphere=dI=12r2dm I_{\text{sphere}} = \int dI = \int \frac{1}{2}r^{2} dm

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これで計算するのは終わりだ。

Iz=12r2dm=aa12x2ρπx2dz=aa12ρπx4dz=12ρπaa(a2z2)2dz=12ρπaa(a42a2z2+z4)dz=12ρπ[a4z23a2z3+15z5]aa=12ρπ(2a543a5+25a5)=ρπ(a523a5+15a5)=ρπ815a5 \begin{align*} I_{z} &= \int \frac{1}{2}r^{2}dm=\int_{-a}^{a} \frac{1}{2}x^{2} \rho\pi x^{2} dz \\ &= \int_{-a}^{a} \frac{1}{2}\rho\pi x^{4} dz \\ &= \frac{1}{2} \rho \pi\int_{-a}^{a} (a^{2}-z^{2})^{2}dz \\ &= \frac{1}{2} \rho\pi \int_{-a}^{a} (a^{4}-2a^{2}z^{2}+z^{4})dz \\ &= \frac{1}{2} \rho \pi \left[ a^{4}z-\frac{2}{3}a^{2}z^{3}+\frac{1}{5}z^{5} \right]_{-a}^{a} \\ &= \frac{1}{2} \rho \pi \left(2a^{5}-\frac{4}{3}a^{5}+\frac{2}{5}a^{5} \right) \\ &= \rho \pi \left(a^{5}-\frac{2}{3}a^{5}+\frac{1}{5}a^{5} \right) \\ &= \rho \pi \frac{8}{15}a^{5} \end{align*}

そして、球の質量はm=ρπ43a3m = \rho \pi \dfrac{4}{3} a^{3}なので、IzI_{z}を代入すると以下のようになる。

Iz=ρπ815a5=(ρπ43a3)(25a2)=25ma2 I_{z} = \rho \pi \frac{8}{15} a^{5} = \left( \rho \pi \frac{4}{3}a^{3} \right) \left( \dfrac{2}{5}a^{2} \right) = \frac{2}{5}ma^{2}

さらに、球は全ての方向で対称であるため、以下の結果を得る。

Ix=Iy=Iz I_{x} = I_{y} = I_{z}