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ねじれ部分群の定義 📂位相データ分析

ねじれ部分群の定義

定義 1

GGアーベル群とする。

  1. gGg \in Gが何らかのnNn \in \mathbb{N}に対してng=0ng = 0を満たせば、gg有限オーダーfinite orderを持つと言う。
  2. GGの有限オーダーを持つ全ての元の集合TGT \subset GGGサブグループならば、TTGGトーションサブグループtorsion Subgroupという。
  3. もしGGのトーションサブグループTTが実質的にない、つまりT={0}T = \left\{ 0 \right\}ならば、GGトーションフリーtorsion-freeという。
  4. もしTTが有限の元から成っているならば、TT濃度T\left| T \right|TTオーダーorderという。

説明

トーション?

トーションとは、‘ねじり’や’もつれ’と翻訳されることもあるが、抽象代数ではそういった直感を特に与えないから、ただ「トーション」として受け入れることを推奨する。個人的には、韓国語でも英語でも、TTが有限群であるという点が何となく全体のグループGGを覆す感じがするけど、無理やり理解させる必要はないと思う。

トーションサブグループ

G1=Z2×Z3×Z5 G_{1} = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}^{5}

例えば上に述べたグループG1G_{1}を考えてみる。1G_{1}Gは無数に多くのサブグループを持つが、その中でZ6Z2×Z3\mathbb{Z}_{6} \simeq \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3}同型であるサブグループT1G1T_{1} \subset G_{1}だけがトーションサブグループである。定義によるとただの任意の有限群ではなく、有限の濃度を持つ全ての元の集合でなければならないからだ。

トーションフリー

別の例としてG2=Z5G_{2} = \mathbb{Z}^{5}を考えてみる。00が有限オーダーを持つ唯一の元であっても、1N1 \in \mathbb{N}に対して10=01 \cdot 0 = 0なので、トーションサブグループである自明な群{0}\left\{ 0 \right\}が存在する。だから、トーションがない(トーションフリー)と言いたくても、直接「ない」とは言えず、「消える」vanishと遠回しな言い方をするのだ。


  1. Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p22. ↩︎