ねじれ部分群の定義
定義 1
がアーベル群とする。
- が何らかのに対してを満たせば、は有限オーダーfinite orderを持つと言う。
- の有限オーダーを持つ全ての元の集合がのサブグループならば、をのトーションサブグループtorsion Subgroupという。
- もしのトーションサブグループが実質的にない、つまりならば、をトーションフリーtorsion-freeという。
- もしが有限の元から成っているならば、の濃度をのオーダーorderという。
説明
トーション?
トーションとは、‘ねじり’や’もつれ’と翻訳されることもあるが、抽象代数ではそういった直感を特に与えないから、ただ「トーション」として受け入れることを推奨する。個人的には、韓国語でも英語でも、が有限群であるという点が何となく全体のグループを覆す感じがするけど、無理やり理解させる必要はないと思う。
トーションサブグループ
例えば上に述べたグループを考えてみる。は無数に多くのサブグループを持つが、その中でと同型であるサブグループだけがトーションサブグループである。定義によるとただの任意の有限群ではなく、有限の濃度を持つ全ての元の集合でなければならないからだ。
トーションフリー
別の例としてを考えてみる。が有限オーダーを持つ唯一の元であっても、に対してなので、トーションサブグループである自明な群が存在する。だから、トーションがない(トーションフリー)と言いたくても、直接「ない」とは言えず、「消える」vanishと遠回しな言い方をするのだ。
Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p22. ↩︎