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円盤と円筒の慣性モーメント 📂古典力学

円盤と円筒の慣性モーメント

半径がaa、質量がmmの円盤の慣性モーメント

  • 回転軸が円盤に垂直な場合、I=12ma2I=\dfrac{1}{2}ma^2である。

  • 回転軸が円盤と平行な場合、I=14ma2I=\dfrac{1}{4}ma^2である。

導出

回転軸が円盤の中心を通り、円盤に垂直な場合

5.jpg

ρ\rhoを単位面積あたりの質量とする。すると円盤の質量はm=ρπr2m=\rho \pi r^2である。従って、以下のようになる。

dm=ρπ2rdr dm=\rho \pi 2r dr

慣性モーメントを求める式はI=r2dm\displaystyle I=\int r^2dmなので、以下が成り立つ。

I=0aρπ2r3dr=ρπ214a4=12ρπa4 I=\int_{0}^a\rho \pi 2 r^3 dr=\rho \pi 2 \frac{1}{4}a^4=\frac{1}{2}\rho \pi a^4

この時、ρ=mπa2\displaystyle \rho=\frac{m}{\pi a^2}なので

I=12ma2 I=\frac{1}{2}ma^2

回転軸が円盤の中心を通り、円盤に平行な場合

5.jpg

平行軸定理によれば、Iz=Ix+IyI_{z}=I_{x}+I_{y}であり、回転軸がxx軸であろうとyy軸であろうと同じ形であるため、Ix=IyI_{x}=I_{y}である。従って

2Ix=Iz=12ma2    Ix=14ma2 \begin{align*} && 2I_{x} &= I_{z}=\frac{1}{2}ma^2 \\ \implies && I_{x} &= \frac{1}{4}ma^2 \end{align*}