平行軸定理
平行軸定理
剛体の任意の回転軸に対する慣性モーメントは、その軸に平行で、質量中心を通る回転軸に対する慣性モーメントと、剛体の質量と二つの軸の間の距離の二乗の積の和である。
$$ \color{red}I=\color{blue}{I_{cm}}+\color{green}{md^{2}} $$
証明
座標軸を任意に設定し、$z$軸に対する慣性モーメントを$I_{z}$とする。
$$ \begin{equation} I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i} {r_{i}}^{2} = \sum\limits_{i} m_{i} ({x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2}) \label{eq1} \end{equation} $$
原点から剛体の任意の点までの距離を原点から質量中心までの距離と質量中心から点までの距離の和として表すと以下のようになる。
$$ x_{i}=x_{cm}+\bar x_{i} $$
$$ y_{i}=y_{cm}+ \bar y_{i} $$
これを$\eqref{eq1}$に代入すると次のようになる。
$$ I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i} \left[ (x_{cm}+\bar x_{i})^{2}+(y_{cm}+ \bar y_{i})^{2} \right] $$
展開して整理すると次のようになる。
$$ I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}({\bar x_{i}}^{2}+{\bar y_{i}}^{2}) + \sum\limits_{i} m_{i}({x_{cm}}^{2}+{y_{cm}}^{2})+2x_{cm}\sum\limits_{i} m_{i}\bar x_{i} + 2y_{cm} \sum\limits_{i} m_{i}\bar y_{i} $$
各項について計算してみよう。
part 1. 第一項
$({\bar x_{i}}^{2}+{\bar y_{i}}^{2})$は質量中心から各点までの距離の二乗を表している。したがって、第一項は質量中心を通る回転軸に対する慣性モーメント、つまり$I_{cm}$である。
part 2. 第二項
$({x_{cm}}^{2}+{y_{cm}}^{2})$は任意の回転軸と質量中心を通る回転軸までの距離の二乗を表している。したがって、第二項は$md^{2}$である。
part 3. 第三項、第四項
質量中心の定義により、第三項、第四項は0である。なぜなら、$x$方向の質量中心は次のようである。
$$ x_{cm}=\frac{\sum m_{i}x_{i}}{m} $$
展開してみると次のようになる。
$$ \begin{align*} x_{cm} &= \frac{\sum m_{i}x_{i}}{m} \\ &= \frac{\sum m_{i}(x_{cm}+\bar x_{i})}{m} \\ &= \frac{\sum m_{i} x_{cm}}{m}+\frac{ \sum m_{i}\bar x_{i}}{m} \\ &= \frac{ x_{cm} \sum m_{i}}{m}+\frac{ \sum m_{i}\bar x_{i}}{m} \end{align*} $$
この時、$\sum m_{i}=m$なので、上の式は次のようになる。
$$ \begin{array}{llc} && x_{cm}=x_{cm}\dfrac{m}{m}+\dfrac{ \sum m_{i}\bar x_{i}}{m} = x_{cm}+ \dfrac{ \sum m_{i}\bar x_{i}}{m} \\ \implies && 0 = \dfrac{ \sum m_{i}\bar x_{i}}{m} \end{array} $$
したがって、$\sum m_{i} \bar x_{i}=0$であり、これは$\bar y_{i}$に対しても同様である。
これらの結果を合わせると、次のようになる。
$$ I_{z}=I_{cm}+md^{2} $$
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