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垂直軸定理 📂古典力学

垂直軸定理

垂直軸の定理

任意の平面に垂直な回転軸に対する慣性モーメントは、その垂直軸を通過しながら平面上に存在する互いに垂直な任意の二軸に対する慣性モーメントの合計と等しい。

Iz=Ix+Iy \color{red}{I_{z}}=\color{blue}{I_{x}+I_{y}}

証明

3.jpg

Iz=∑imiri2 I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}{r_{i}}^{2}

ピタゴラスの定理によりri2=xi2+yi2{r_{i}}^{2}={x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2}であるから、上の式にこれを代入すると次のようになる。

Iz=∑imi(xi2+yi2)=∑imixi2+∑imiyi2 I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}({x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2})=\sum\limits_{i} m_{i}{x_{i}}^{2}+\sum\limits_{i} m_{i}{y_{i}}^{2}

xxはyy-軸からの距離であり、yyはxx-軸からの距離であるから、次のようになる。

∑imixi2=Iy,∑imiyi2=Ix \sum\limits_{i} m_{i}{x_{i}}^{2}=I_{y}, \quad \sum\limits_{i} m_{i}{y_{i}}^{2}=I_{x}

したがって、

Iz=Ix+Iy I_{z}=I_{x}+I_{y}

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参照