📂確率分布論

カイ二乗分布の十分統計量

定理

カイ二乗分布に従うランダムサンプル $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \chi^{2} (r)$ が与えられているとしよう。$r$ に対する十分統計量 $T$ は、次の通りである。 $$T = \left( \prod_{i} X_{i} \right)$$

証明

ガンマ分布とカイ二乗分布の関係: $$\Gamma \left( { r \over 2 } , 2 \right) \iff \chi ^2 (r)$$

ガンマ分布の十分統計量: ガンマ分布に従うランダムサンプル $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \Gamma \left( k, \theta \right)$ が与えられているとしよう。

$\left( k, \theta \right)$ に対する十分統計量 $T$ は、次の通りである。

$$T = \left( \prod_{i} X_{i}, \sum_{i} X_{i} \right)$$

カイ二乗分布は本質的にガンマ分布であり、ガンマ分布での$k = r/2$ に対する十分統計量が $\prod_{i} X_{i}$ であるため、カイ二乗分布の十分統計量も $\prod_{i} X_{i}$ である。

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