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細い棒の慣性モーメント 📂古典力学

細い棒の慣性モーメント

公式

長さがaa、質量がmmの棒の慣性モーメント

  • 回転軸が棒の端にある場合、I=13ma2I=\dfrac{1}{3}ma^{2}である。

  • 回転軸が棒の中央にある場合、I=112ma2I=\dfrac{1}{12}ma^{2}である。

導出

回転軸が棒の端にある場合

1.jpg

ρ\rhoを単位長さ当たりの質量とすると、棒の質量はm=ρxm=\rho xである。また、dm=ρdxdm=\rho dxなので、次のようになる。

Iz=0ax2ρdx=13a3ρ I_{z} = \int_{0}^{a} x^{2}\rho dx = \frac{1}{3}a^{3}\rho

しかし、棒の長さがaaであるので、ρ=ma\rho=\dfrac{m}{a}になり、次の結果を得る。

Iz=13ma2 I_{z}=\frac{1}{3}ma^{2}

回転軸が棒の中央にある場合

2.jpg

Iz=a2a2x2ρdx=13(a38+a38)ρ=112a3ρ=112ma2 \begin{align*} I_{z} &= \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}x^{2}\rho dx = \frac{1}{3} \left( \frac{a^{3}}{8}+\frac{a^{3}}{8} \right)\rho \\ &= \frac{1}{12}a^{3}\rho \\ &= \frac{1}{12}ma^{2} \end{align*}

比較

二つの結果を比較すると、回転軸が棒の中央にある場合の慣性モーメントの方が小さい。つまり、同じ力で棒を回すとき、回転軸が中央にある棒の方がより多く回転することになる。