細い棒の慣性モーメント
📂古典力学細い棒の慣性モーメント
公式
長さがa、質量がmの棒の慣性モーメントは
導出
回転軸が棒の端にある場合

ρを単位長さ当たりの質量とすると、棒の質量はm=ρxである。また、dm=ρdxなので、次のようになる。
Iz=∫0ax2ρdx=31a3ρ
しかし、棒の長さがaであるので、ρ=amになり、次の結果を得る。
Iz=31ma2
回転軸が棒の中央にある場合

Iz=∫−2a2ax2ρdx=31(8a3+8a3)ρ=121a3ρ=121ma2
比較
二つの結果を比較すると、回転軸が棒の中央にある場合の慣性モーメントの方が小さい。つまり、同じ力で棒を回すとき、回転軸が中央にある棒の方がより多く回転することになる。