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指数分布の十分統計量と最尤推定量 📂確率分布論

指数分布の十分統計量と最尤推定量

定理

指数分布に従うランダムサンプル X:=(X1,⋯ ,Xn)∼exp⁡(λ)\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \exp \left( \lambda \right) が与えられているとする。

λ\lambda に関する十分統計量 TT と最尤推定量 λ^\hat{\lambda} は以下の通りである。 T=∑k=1nXkλ^=n∑k=1nXk \begin{align*} T =& \sum_{k=1}^{n} X_{k} \\ \hat{\lambda} =& {{ n } \over { \sum_{k=1}^{n} X_{k} }} \end{align*}

証明

十分統計量

f(x;λ)=∏k=1nf(xk;λ)=∏k=1nλe−λxk=λne−λ∑kxk=λne−λ∑kxk⋅1 \begin{align*} f \left( \mathbf{x} ; \lambda \right) =& \prod_{k=1}^{n} f \left( x_{k} ; \lambda \right) \\ =& \prod_{k=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_{k}} \\ =& \lambda^{n} e^{-\lambda \sum_{k} x_{k}} \\ =& \lambda^{n} e^{-\lambda \sum_{k} x_{k}} \cdot 1 \end{align*}

ネイマン分解定理: ランダムサンプル X1,⋯ ,XnX_{1} , \cdots , X_{n} がパラメータ θ∈Θ\theta \in \Theta に対して同じ確率質量/密度関数 f(x;θ)f \left( x ; \theta \right) を持つとする。統計量 Y=u1(X1,⋯ ,Xn)Y = u_{1} \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) がθ\theta の十分統計量であるためには、以下を満たす非負の二つの関数 k1,k2≥0k_{1} , k_{2} \ge 0 が存在することである。 f(x1;θ)⋯f(xn;θ)=k1[u1(x1,⋯ ,xn);θ]k2(x1,⋯ ,xn) f \left( x_{1} ; \theta \right) \cdots f \left( x_{n} ; \theta \right) = k_{1} \left[ u_{1} \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) ; \theta \right] k_{2} \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) ただし、k2k_{2} は θ\theta に依存してはならない。

ネイマン分解定理により、T:=∑kXkT := \sum_{k} X_{k} は λ\lambda に関する十分統計量である。

最尤推定量

log⁡L(λ;x)=log⁡f(x;λ)=log⁡λne−λ∑kxk=nlog⁡λ−λ∑k=1nxk \begin{align*} \log L \left( \lambda ; \mathbf{x} \right) =& \log f \left( \mathbf{x} ; \lambda \right) \\ =& \log \lambda^{n} e^{-\lambda \sum_{k} x_{k}} \\ =& n \log \lambda - \lambda \sum_{k=1}^{n} x_{k} \end{align*}

ランダムサンプルの対数尤度関数は上記の通りで、尤度関数が最大値となるためには、λ\lambda に対する偏微分が 00 となる必要がある。したがって 0=n1λ−∑k=1nxk  ⟹  λ=n∑k=1nxk \begin{align*} & 0 = n {{ 1 } \over { \lambda }} - \sum_{k=1}^{n} x_{k} \\ \implies & \lambda = {{ n } \over { \sum_{k=1}^{n} x_{k} }} \end{align*}

したがって、λ\lambda の最尤推定量 λ^\hat{\lambda} は以下の通りである。 λ^=n∑k=1nXk \hat{\lambda} = {{ n } \over { \sum_{k=1}^{n} X_{k} }}

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