logo

ポアソン分布の十分統計量と最尤推定量 📂確率分布論

ポアソン分布の十分統計量と最尤推定量

定理

ポアソン分布に従うランダムサンプル X:=(X1,⋯ ,Xn)∼Poi(λ)\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \text{Poi} \left( \lambda \right) が与えられたとしよう。

λ\lambda に対する十分統計量 TT と最尤推定量 λ^\hat{\lambda} は次の通りだ。 T=∑k=1nXkλ^=1n∑k=1nXk \begin{align*} T =& \sum_{k=1}^{n} X_{k} \\ \hat{\lambda} =& {{ 1 } \over { n }} \sum_{k=1}^{n} X_{k} \end{align*}

証明

十分統計量

f(x;λ)=∏k=1nf(xk;λ)=∏k=1ne−λλxkxk!=e−nλλ∑kxk∏kxk!=e−nλλ∑kxk⋅1∏kxk! \begin{align*} f \left( \mathbf{x} ; \lambda \right) =& \prod_{k=1}^{n} f \left( x_{k} ; \lambda \right) \\ =& \prod_{k=1}^{n} {{ e^{-\lambda} \lambda^{x_{k}} } \over { x_{k} ! }} \\ =& {{ e^{-n \lambda} \lambda^{ \sum_{k} x_{k}} } \over { \prod_{k} x_{k} ! }} \\ =& e^{-n \lambda} \lambda^{ \sum_{k} x_{k}} \cdot {{ 1 } \over { \prod_{k} x_{k} ! }} \end{align*}

ネイマン因子分解定理：ランダムサンプル X1,⋯ ,XnX_{1} , \cdots , X_{n} がパラメーター θ∈Θ\theta \in \Theta に対して同じ確率質量/密度関数 f(x;θ)f \left( x ; \theta \right) を持つとする。統計量 Y=u1(X1,⋯ ,Xn)Y = u_{1} \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) がθ\theta の十分統計量であるのは、次を満たす二つの非負の関数 k1,k2≥0k_{1} , k_{2} \ge 0 が存在することである。 f(x1;θ)⋯f(xn;θ)=k1[u1(x1,⋯ ,xn);θ]k2(x1,⋯ ,xn) f \left( x_{1} ; \theta \right) \cdots f \left( x_{n} ; \theta \right) = k_{1} \left[ u_{1} \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) ; \theta \right] k_{2} \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) ただし、k2k_{2} はθ\theta に依存してはならない。

ネイマン因子分解定理により、T:=∑kXkT := \sum_{k} X_{k} はλ\lambda に対する十分統計量である。

最尤推定量

log⁡L(λ;x)=log⁡f(x;λ)=log⁡e−nλλ∑kxk∏kxk!=−nλ+∑k=1nxklog⁡λ−log⁡∏kxk! \begin{align*} \log L \left( \lambda ; \mathbf{x} \right) =& \log f \left( \mathbf{x} ; \lambda \right) \\ =& \log {{ e^{-n \lambda} \lambda^{ \sum_{k} x_{k}} } \over { \prod_{k} x_{k} ! }} \\ =& -n\lambda + \sum_{k=1}^{n} x_{k} \log \lambda - \log \prod_{k} x_{k} ! \end{align*}

ランダムサンプルの対数尤度関数は上記の通りであり、尤度関数が最大値となるためには、λ\lambda に対する偏微分が 00 でなければならないので、 0=−n+∑k=1nxk1λ  ⟹  λ=1n∑k=1nxk \begin{align*} & 0 = - n + \sum_{k=1}^{n} x_{k} {{ 1 } \over { \lambda }} \\ \implies & \lambda = {{ 1 } \over { n }} \sum_{k=1}^{n} x_{k} \end{align*}

したがって、λ\lambda の最尤推定量 λ^\hat{\lambda} は次の通りである。 λ^=1n∑k=1nXk \hat{\lambda} = {{ 1 } \over { n }} \sum_{k=1}^{n} X_{k}

■