📂数理統計学

最も正確な信頼集合

定義 ¹

$\theta$に対する仮説検定の$1 - \alpha$信頼集合を$C \left( \mathbf{x} \right)$とし、受容域を$A \left( \theta \right) = C \left( \mathbf{x} \right)^{c}$とする。

1. $P_{\theta} \left( \theta ' \in C \left( \mathbf{X} \right) \right)$を$\theta ' \ne \theta$に対するフォールスカバレッジ^{false Coverage}確率と言い、元のカバレッジ確率$P_{\theta} \left( \theta \in C \left( \mathbf{X} \right) \right)$をこれと対比される表現であるトゥルーカバレッジ^{true Coverage}確率と呼ぶ。
2. $1-\alpha$信頼集合$C \left( \mathbf{x} \right)$が全ての$\theta ' \ne \theta$に対してフォールスカバレッジ確率が$1-\alpha$以下であれば、バイアスなし^unbiasedと言う。つまり、以下を満たす。 $$P_{\theta} \left( \theta ' \in C \left( \mathbf{X} \right) \right) \le 1 - \alpha$$
3. $1-\alpha$信頼集合の中でフォールスカバレッジ確率を最小化する$1-\alpha$信頼集合を最も正確な信頼集合^{uniformly Most Accurate(UMA) Confidence set}と言い、信頼区間の場合はナイマン最短^{neyman-shortest}とも言う。

説明

信頼区間

特に$C \left( \mathbf{X} \right)$が信頼区間の場合、フォールスカバレッジ確率は以下のように3つに分けて別々に定義される。 $$\begin{align*} C \left( \mathbf{X} \right) = \left[ L , U \right] \implies & P_{\theta} \left( \theta ' \in C \left( \mathbf{X} \right) \right) \qquad , \theta ' \ne \theta \\ C \left( \mathbf{X} \right) = \left[ L , \infty \right) \implies & P_{\theta} \left( \theta ' \in C \left( \mathbf{X} \right) \right) \qquad , \theta ' < \theta \\ C \left( \mathbf{X} \right) = \left( -\infty , U \right] \implies & P_{\theta} \left( \theta ' \in C \left( \mathbf{X} \right) \right) \qquad , \theta ' > \theta \end{align*}$$

UMP仮説検定との関係

仮説検定と信頼集合の一対一対応関係によると、最強力検定にもそれに対応する信頼集合があるべきで、それが最も正確な信頼集合と考えてもいい。

定義からフォールスカバレッジ確率を最小化することは、仮説検定が最適かどうかの質問ともつながっている。対応する信頼区間が最適であるということは、その長さが最も短いということであり、我々は同じ信頼レベルであればなるべく信頼区間が短いことを望むので、それをナイマン最短と呼ぶのは納得がいくだろう。

ナイマンピアソン補助定理やカール・ピアソンの定理などの定理が保証する最強性はあまりにも限定的であった。基本的にほとんどの最強力検定は片側^one-sided検定だったが、UMAは特に両側^two-sided検定でその意義が特に重要になる。