📂数理統計学

仮説検定と信頼集合の一対一対応関係

定理

パラメータ空間 $\Theta$ と空間 $\mathcal{X}$ が与えられているとしよう。

• 各々の $\theta_{0} \in \Theta$ に対して、$A \left( \theta_{0} \right)$ を仮説検定 $H_{0} : \theta = \theta_{0}$のレベル $\alpha$ 棄却域とする。各々の $\mathbf{x} \in \mathcal{X}$ に対して、以下のように集合 $C \left( \mathbf{x} \right) \subset \Theta$ を定義しよう。 $$C \left( \mathbf{x} \right) := \left\{ \theta_{0} : \mathbf{x} \in A \left( \theta_{0} \right) \right\}$$ すると、ランダム集合^{random set} $C \left( \mathbf{X} \right)$ は$1 - \alpha$ 信頼集合だ。
• 逆に、$C \left( \mathbf{X} \right)$ が$1 - \alpha$ 信頼集合であるとする。全ての $\theta_{0} \in \Theta$ に対して、以下のように集合 $A \left( \theta_{0} \right) \subset \mathcal{X}$ を定義しよう。 $$A \left( \theta_{0} \right) = \left\{ \mathbf{x} : \theta_{0} \in C \left( \mathbf{x} \right) \right\}$$ すると、事象 $A \left( \theta_{0} \right)$ は仮説検定 $H_{0} : \theta = \theta_{0}$のレベル $\alpha$ 棄却域です。

説明

この定理のモチーフを簡単にまとめると、次のようになる。 $$\theta_{0} \in C \left( \mathbf{x} \right) \iff \mathbf{x} \in A \left( \theta_{0} \right)$$

証明 ¹

$\left( \implies \right)$

$A \left( \theta_{0} \right)$ がレベル $\alpha$ の棄却域であるため、 $$\begin{align*} P_{\theta_{0}} \left( \mathbf{X} \notin A \left( \theta_{0} \right) \right) \le & \alpha \\ P_{\theta_{0}} \left( \mathbf{X} \in A \left( \theta_{0} \right) \right) \ge & 1 - \alpha \end{align*}$$ 仮定から全ての $\theta_{0}$ に対して成り立つので、$\theta$ と記述でき、$C \left( \mathbf{x} \right) = \left\{ \theta_{0} : \mathbf{x} \in A \left( \theta_{0} \right) \right\}$ と定義したので、$C \left( \mathbf{X} \right)$ のカバレッジ確率は $$P_{\theta} \left( \mathbf{X} \in C \left( \mathbf{X} \right) \right) = P_{\theta} \left( \mathbf{X} \in A \left( \theta \right) \right) \ge 1 - \alpha$$ となる。言い換えると、$C \left( \mathbf{X} \right)$ は$1-\alpha$ 信頼集合である。

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$\left( \impliedby \right)$

$A \left( \theta_{0} \right)$ の $H_{0} : \theta = \theta_{0}$ における第一種の過誤の確率は $$P_{\theta_{0}} \left( \mathbf{X} \notin A \left( \theta_{0} \right) \right) = P_{\theta_{0}} \left( \theta_{0} \notin C \left( \mathbf{X} \right) \right) \le \alpha$$ よって、レベル $\alpha$ の仮説検定だ。

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