📂動力学

レズリーの年齢構造モデル

定義 ¹

集団に$m \in \mathbb{N}$段階の年齢があるとしよう。そして、時点$t$での$a \in \left\{ 1 , \cdots , m \right\}$段階の人口の数を$x_{a}(t)$と表示する。同じ期間において年齢$a$段階の集団の平均的な子孫の数を$b_{a}$とし、年齢が$a$段階の集団の中で、生き残って$a+1$段階に入る比率を$s_{a}$とすると、次のように数式で表すことができる。 $$ \begin{align*} x_{1} \left( t+1 \right) =& \sum_{a=1}^{m} b_{a} x_{a} (t) \\ x_{a+1} \left( t+1 \right) =& s_{a} x_{a} (t) \end{align*} $$

このようにマップで表される動力系をレズリー年齢構造モデル^{Leslie age structured model}と呼び、次のように行列の形で表すことができる。 $$ X (t+1) := \begin{bmatrix} x_{1} (t+1) \\ x_{2} (t+1) \\ x_{3} (t+1) \\ \vdots \\ x_{m} (t+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{m-1} & b_{m} \\ s_{1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & s_{2} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & s_{m-1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} (t) \\ x_{2} (t) \\ x_{3} (t) \\ \vdots \\ x_{m} (t) \end{bmatrix} =: L X (t) $$

この時、行列$m \times m$$L$をレズリー行列と呼ぶ。

説明

紹介した定義は最も単純な仮定だけを含んでいる。ほとんどの生物には特定の生殖の全盛期があり、モデルも大きく異なり、通常はメス^femaleの数だけを考えるが、種によっては両性を考えたり、他の種との共生や食糧状況まで考えて複雑なモデルを構成することができる。年齢と言っても、実際には厳密に’年齢’と考える必要はない。完全変態をする昆虫を例にすると、卵、幼虫、蛹、成虫に分けることができる。

もし$L$が時刻$t$に対して独立であれば、初期条件$X(0)$に対して、次のように$L$を$t$回乗する式で簡単に表すことができる。 $$ X (t) = L^{t} X(0) $$

レズリーモデルは、年齢を考慮した集団の生死と成長に大きな関心を持っており、バイタルダイナミクス^{vital Dynamcis}自体に焦点を当てているが、それだけではなく、集団の年齢構造を考えることはかなり広く使われている考え方である。例えば、SIRモデルなどでは、年齢別の接触頻度により病気の伝播に差をつけることがその一例である。

連続的年齢構造モデル

フォン・フェルスター方程式を応用したモデルが知られている。