レズリーの年齢構造モデル
📂動力学 レズリーの年齢構造モデル 定義 集団にm ∈ N m \in \mathbb{N} m ∈ N t t t a ∈ { 1 , ⋯ , m } a \in \left\{ 1 , \cdots , m \right\} a ∈ { 1 , ⋯ , m } x a ( t ) x_{a}(t) x a ( t ) a a a b a b_{a} b a a a a a + 1 a+1 a + 1 s a s_{a} s a x 1 ( t + 1 ) = ∑ a = 1 m b a x a ( t ) x a + 1 ( t + 1 ) = s a x a ( t )
\begin{align*}
x_{1} \left( t+1 \right) =& \sum_{a=1}^{m} b_{a} x_{a} (t)
\\ x_{a+1} \left( t+1 \right) =& s_{a} x_{a} (t)
\end{align*}
x 1 ( t + 1 ) = x a + 1 ( t + 1 ) = a = 1 ∑ m b a x a ( t ) s a x a ( t )
このようにマップで表される動力系をレズリー年齢構造モデル Leslie age structured model と呼び、次のように行列の形で表すことができる。
X ( t + 1 ) : = [ x 1 ( t + 1 ) x 2 ( t + 1 ) x 3 ( t + 1 ) ⋮ x m ( t + 1 ) ] = [ b 1 b 2 ⋯ b m − 1 b m s 1 0 ⋯ 0 0 0 s 2 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ s m − 1 0 ] [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) x 3 ( t ) ⋮ x m ( t ) ] = : L X ( t )
X (t+1) := \begin{bmatrix} x_{1} (t+1) \\ x_{2} (t+1) \\ x_{3} (t+1) \\ \vdots \\ x_{m} (t+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{m-1} & b_{m}
\\ s_{1} & 0 & \cdots & 0 & 0
\\ 0 & s_{2} & \cdots & 0 & 0
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ 0 & 0 & \cdots & s_{m-1} & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} (t) \\ x_{2} (t) \\ x_{3} (t) \\ \vdots \\ x_{m} (t) \end{bmatrix} =: L X (t)
X ( t + 1 ) := x 1 ( t + 1 ) x 2 ( t + 1 ) x 3 ( t + 1 ) ⋮ x m ( t + 1 ) = b 1 s 1 0 ⋮ 0 b 2 0 s 2 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ b m − 1 0 0 ⋮ s m − 1 b m 0 0 0 x 1 ( t ) x 2 ( t ) x 3 ( t ) ⋮ x m ( t ) =: L X ( t )
この時、行列m × m m \times m m × m L L L レズリー行列 と呼ぶ。
説明 紹介した定義は最も単純な仮定だけを含んでいる。ほとんどの生物には特定の生殖の全盛期があり、モデルも大きく異なり、通常はメス female の数だけを考えるが、種によっては両性を考えたり、他の種との共生や食糧状況まで考えて複雑なモデルを構成することができる。年齢と言っても、実際には厳密に’年齢’と考える必要はない。完全変態をする昆虫を例にすると、卵、幼虫、蛹、成虫に分けることができる。
もしL L L t t t X ( 0 ) X(0) X ( 0 ) L L L t t t X ( t ) = L t X ( 0 )
X (t) = L^{t} X(0)
X ( t ) = L t X ( 0 )
レズリーモデルは、年齢を考慮した集団の生死と成長に大きな関心を持っており、バイタルダイナミクス vital Dynamcis 自体に焦点を当てているが、それだけではなく、集団の年齢構造を考えることはかなり広く使われている考え方である。例えば、SIRモデル などでは、年齢別の接触頻度により病気の伝播に差をつけることがその一例である。
連続的年齢構造モデル フォン・フェルスター方程式 を応用したモデルが知られている。
