📂数理統計学

十分統計量を含む最強力検定

定理

仮説検定: $$\begin{align*} H_{0} :& \theta = \theta_{0} \\ H_{1} :& \theta = \theta_{1} \end{align*}$$

このような仮説検定では、十分統計量 $T$ の $\theta_{0}, \theta_{1}$ に対する確率密度関数または確率質量関数を $g \left( t | \theta_{0} \right), g \left( t | \theta_{1} \right)$ と呼ぼう。そうすると、棄却域 $S$ とある定数 $k \ge 0$ について、次の三つの条件を満たす時、$T$ に依存するすべての仮説検定はレベル $\alpha$ の最強力検定である。

• (i): $g \left( t | \theta_{1} \right) > k g \left( t | \theta_{0} \right)$ の場合 $t \in S$
• (ii): $g \left( t | \theta_{1} \right) < k g \left( t | \theta_{0} \right)$ の場合 $t \in S^{c}$
• (iii): $\alpha = P_{\theta_{0}} \left( T \in S \right)$

説明

この定理は、本質的にピアソン-ネイマン補助定理の系である。カーリン-ルービン定理の証明に使われるだけでなく、十分統計量を利用して最強力検定を容易に設計できることを示唆している。

証明 ¹

元のサンプル $\mathbf{X}$ に対する棄却域は $R = \left\{ \mathbf{x} : T \left( \mathbf{X} \right) \in S \right\}$ である。ネイマン分解定理によれば、$\mathbf{X}$ の確率密度関数または確率質量関数は非負の関数 $h \left( \mathbf{x} \right)$ に関して $$f \left( \mathbf{x} | \theta_{i} \right) = g \left( T \left( \mathbf{x} \right) | \theta_{i} \right) h \left( \mathbf{x} \right) \qquad , i = 0,1$$ のように表現できる。定理で要求された条件 (i), (ii)を満たすと仮定して $$\begin{align*} \mathbf{x} \in R \impliedby & f \left( \mathbf{x} | \theta_{1} \right) > g \left( T \left( \mathbf{x} \right) | \theta_{1} \right) h \left( \mathbf{x} \right) = k g \left( t | \theta_{0} \right) = k f \left( \mathbf{x} | \theta_{0} \right) \\ \mathbf{x} \in R^{c} \impliedby & f \left( \mathbf{x} | \theta_{1} \right) < g \left( T \left( \mathbf{x} \right) | \theta_{1} \right) h \left( \mathbf{x} \right) = k g \left( t | \theta_{0} \right) = k f \left( \mathbf{x} | \theta_{0} \right) \end{align*}$$ が成り立ち、条件 (iii)に基づいて次が成り立つ。 $$P_{\theta_{0}} \left( \mathbf{X} \in R \right) = P_{\theta_{0}} \left( T \left( \mathbf{X} \right) \in S \right) = \alpha$$

ピアソン-ネイマン補助定理: このような仮説検定で、$\theta_{0}, \theta_{1}$ に対する確率密度関数または確率質量関数を $f \left( \mathbf{x} | \theta_{0} \right), f \left( \mathbf{x} | \theta_{1} \right)$ と呼び、棄却域 $R$ とある定数 $k \ge 0$ について、もし

• (i): $f \left( \mathbf{x} | \theta_{1} \right) > k f \left( \mathbf{x} | \theta_{0} \right)$ の場合 $\mathbf{x} \in R$
• (ii): $f \left( \mathbf{x} | \theta_{1} \right) < k f \left( \mathbf{x} | \theta_{0} \right)$ の場合 $\mathbf{x} \in R^{c}$
• (iii): $\alpha = P_{\theta_{0}} \left( \mathbf{X} \in R \right)$

となるならば、次の二つの命題は等価である。

• 上記の三条件を満たすすべての仮説検定は、レベル $\alpha$ の最強力検定である。
• もし、これら三条件を定数 $k > 0$ と共に満たす仮説検定が存在するならば、すべてのレベル $\alpha$ の最強力検定は、集合 $A \subset \Omega$ を除いて、 $$P_{\theta_{0}} \left( \mathbf{X} \in A \right) = P_{\theta_{1}} \left( \mathbf{X} \in A \right) = 0$$ (i)と(ii)を満たし、正確にサイズ $\alpha$の最強力検定である。

ピアソン-ネイマン補助定理の$(\impliedby)$ によれば、与えられた仮説検定は最強力検定である。

■