📂複素解析

ルーシェの定理の証明

定理 ¹

$f$と$g$が単純閉路 $\mathscr{C}$とその内部で解析的であり、$\mathscr{C}$上で$|g(z)| < |f(z)|$を満たすならば、$f$と$f + g$は$\mathscr{C}$の内部で同じ数の零点を持つ。

説明

もともと与えられた関数を$h = f + g$と考え、$f$と$g$にうまく分けて書く定理である。特に多項式関数の場合はこのような操作が非常に簡単であるため、便利に使うことができる。また、数値解析的な方法と組み合わせれば、方程式$h(z) = 0$の解が具体的にどこに位置するかをかなり正確に知ることができる。

証明

戦略: $Z(0)$が$f$の零点の数を、$Z(1)$が$g$の零点の数を表すような$Z$を定義し、$Z(0) = Z(1)$であることを示す。$Z$の関数値は整数であり、もし連続関数であればそのような$Z$は定数関数だけなので、$Z(0) = Z(1)$を得ることができる。

---

$t \in [0,1]$に対して$h(z,t) := f(z) + t g(z)$を考えてみよう。$f$と$g$は$\mathscr{C}$とその内部で解析的であるため、$h(z,t)$は固定された$t$に対して$\mathscr{C}$とその内部で極点を持たない。もし$f(z) + t g(z) = 0$ならば $$ |f(z)| = |-tg(z)| = |tg(z)| $$ であるが、$t \in [0,1]$であるため$|f(z)| \le |g(z)|$である。これは仮定に矛盾するため、$f(z) + t g(z) \ne 0$でなければならない。

$f(z) + t g(z) \ne 0$であるため、新しい関数$\displaystyle Z(t) := {{1} \over {2 \pi i}} \int_{\mathscr{C}} {{f ' (z) + t g ' (z) } \over {f(z) + t g (z) }} dz$を定義できる。

$Z: [0,1] \to \mathbb{Z}$の定義によると、$Z(t)$は有理型関数$f(z) + t g (z)$の零点の数である。ここで$t=0$ならば$Z(0)$は$f$の零点の数であり、$t=1$ならば$Z(1)$は$f+g$の零点の数になるだろう。つまり$Z(0) = Z(1)$であることを示せば証明は終わる。

一方、$Z: [0,1] \to \mathbb{Z}$は終域が整数集合$\mathbb{Z}$であるため、$Z$が連続関数であれば$Z$は定数関数であるしかない。$| Z(t) - Z(s)|$を計算してみると、通分することになって $$ |Z(t) - Z(s)| = {{ |t-s| } \over {2 \pi}} \left| \int_{\mathscr{C}} {{f(z) g ' (z) - f '(z) g(z)} \over { (f(z) + t g(z))(f(z) + s g(z)) }} dz \right| $$ を得る。一方 $$ | f(z) + t g(z) | \ge |f(z)| - t |g(z)| \ge |f(z)| - |g(z)| > 0 $$

$$ | f(z) + s g(z) | \ge |f(z)| - |g(z)| > 0 $$ ここで$\mathscr{C}$はコンパクトであるため、最大最小値定理により$\displaystyle \left| {{f(z) g ' (z) - f '(z) g(z)} \over { (|f(z)| - |g(z)|)^2 }} \right| \le M$を満たす$M>0$が存在する。

ML補助定理: $|f(z)| \le M$を満たす正の数$M$と$\mathscr{C}$の長さ$L$に対して $$ \left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML $$

$\mathscr{C}$の長さを$L$とすると $$ |Z(t) - Z(s)| \le |t - s|{{ML} \over {2 \pi}} $$ したがって$| t - s | \to 0$のとき$ | Z(t) - Z(s) | \to 0$であり、これは$Z$が(一様)連続であることを意味する。$Z(t)$の関数値は整数だが、連続性を持つためには$Z$は定数関数であるしかなく、$Z(0) = Z(1)$を得る。

■