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確率過程の遷移確率 📂確率論

確率過程の遷移確率

定義

状態空間が可算集合の確率過程 {Xt}\left\{ X_{t} \right\} が与えられているとする。

  1. 二つの時点 t1<t2t_{1} < t_{2} に対して、遷移確率 pij(t1,t2)p_{ij} \left( t_{1} , t_{2} \right) を次のように定義する。 pij(t1,t2):=P(Xt2=j∣Xt1=i) p_{ij} \left( t_{1} , t_{2} \right) := P \left( X_{t_{2}} = j \mid X_{t_{1}} = i \right)
    この時、（現在の）状態を意味する ii をソースステート、目的状態を意味する jj をターゲットステートという。特に離散的確率過程 {Xt}t∈N\left\{ X_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}} において t1=n∈Nt_{1} = n \in \mathbb{N} かつ t2=n+k∈Nt_{2} = n + k \in \mathbb{N} の場合、その遷移確率は次のように簡単に示されることもある。 pij(k):=P(n+k=j∣Xn=i)pij:=pij(1) \begin{align*} p_{ij}^{(k)} :=& P \left(n + k = j \mid X_{n} = i \right) \\ p_{ij} :=& p_{ij}^{(1)} \end{align*}
  2. 時点に関わらず、遷移確率が区間 Δt=t2−t1\Delta t = t_{2} - t_{1} にのみ依存している場合、つまり、以下の条件を満たす場合は定常あるいは同質の遷移確率という。 pij(Δt):=(Xt2−t1=j∣X0=i) p_{ij} (\Delta t) := \left( X_{t_{2} - t_{1}} = j \mid X_{0} = i \right)
  3. 定常遷移確率に対して、次のように定義された行列関数 P(t)P(t) と P(k)P^{(k)} を遷移確率行列という。 (P(t))ij:=(pij(t))(P(k))ij:=(pij(k)) \begin{align*} \left( P(t) \right)_{ij} :=& \left( p_{ij} (t) \right) \\ \left( P^{(k)} \right)_{ij} :=& \left( p_{ij}^{(k)} \right) \end{align*}
  4. 連続的確率過程の遷移確率行列 P(t)P(t) が微分可能な行列関数であるとする。次のように定義された行列 Q:=P’(0) Q := P’ (0)
    を微分素行列といい、その成分 (Q)ij\left( Q \right)_{ij} を遷移率という。

参照