📂数理統計学

スケールファミリー

定義

累積分布関数 $F$ が全ての $x$ に対して $F_{\sigma} (x) = F \left( x / \sigma \right)$ を満たすとしよう。

$\left\{ F_{\sigma} : \sigma > 0 \right\}$ をスケールファミリーという。

例 ¹

パラメータ $\sigma$ のランダムサンプル $X_{1} , \cdots , X_{n}$ が累積分布関数 $F_{1} (x) = F ( x / 1) = F(x)$ を持つ場合、ランダムサンプル $Z_{1} , \cdots , Z_{n}$ について $$ X_{i} = \sigma Z_{i} $$ のように表現できる。このサンプルのある統計量が $$ {{ X_{1} } \over { X_{n} }} , \cdots , {{ X_{n-1} } \over { X_{n} }} $$ だけの関数として表されるならば、それは補助統計量である。理にかなっている。なぜなら、スケールパラメータ $\sigma$ が何であれ、そのランダムサンプルの比率は分子・分母で相殺されるからだ。実際、それらの比の結合累積分布関数は $$ \begin{align*} F \left( y_{1} , \cdots , y_{n} ; \sigma \right) =& P_{\sigma} \left( {{ X_{1} } \over { X_{n} }} \le y_{1} , \cdots , {{ X_{n-1} } \over { X_{n} }} \le y_{n-1} \right) \\ =& P_{\sigma} \left( {{ \sigma Z_{1} } \over { \sigma Z_{n} }} \le y_{1} , \cdots , {{ \sigma Z_{n-1} } \over { \sigma Z_{n} }} \le y_{n-1} \right) \\ =& P_{\sigma} \left( {{ Z_{1} } \over { Z_{n} }} \le y_{1} , \cdots , {{ Z_{n-1} } \over { Z_{n} }} \le y_{n-1} \right) \end{align*} $$ $\sigma$ に依存していない。

関連項目

• 指数ファミリー
• ロケーションファミリー