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指示関数の積 📂レンマ

指示関数の積

定理

x1,⋯ ,xn∈Rx_{1} , \cdots , x_{n} \in \mathbb{R} と定数 θ∈R\theta \in \mathbb{R} について、I⋅(xi)I_{\cdot} \left( x_{i} \right) の積は次のようになる。 ∏i=1nI[θ,∞)(xi)=I[θ,∞)(min⁡i∈[n]xi) \prod_{i=1}^{n} I_{[\theta,\infty)} \left( x_{i} \right) = I_{[\theta,\infty)} \left( \min_{i \in [n]} x_{i} \right)

  • IAI_{A} は集合 AA に対する指示関数だ。 IA(x)={1,x∈A0,x∉A I_{A} (x) = \begin{cases} 1 & , x \in A \\ 0 & , x \notin A \end{cases}

証明

いくつかの xix_{i} が [θ,∞)[\theta , \infty) に属していても、最も小さい min⁡xi\min x_{i} が θ\theta より小さければ、結局 00 になり、それ以外の部分は 11 の積であるため、すべての xix_{i} を考慮する必要はない。

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説明

逆方向

十分統計量に関連する定理の証明に必要だ。もちろん逆方向から次の定理を考えることもできる。 ∏i=1nI(−∞,θ](xi)=I(−∞,θ](max⁡i∈[n]xi) \prod_{i=1}^{n} I_{(-\infty, \theta]} \left( x_{i} \right) = I_{(-\infty, \theta]} \left( \max_{i \in [n]} x_{i} \right)

xx が固定された場合

紹介された定理は x1,⋯ ,xn∈Rx_{1} , \cdots , x_{n} \in \mathbb{R} が変数で集合が固定されていた。一方、xx が固定されていて A1,⋯ ,AnA_{1} , \cdots , A_{n} が変数の場合、次のように指示関数の積を考えることができる。 ∏i=1nIAi(x)=I⋂i=1nAi(x) \prod_{i=1}^{n} I_{A_{i}} (x) = I_{\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}} (x)