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尤度関数の定義 📂数理統計学

尤度関数の定義

定義 1

サンプル X:=(X1,,Xn)\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)ジョイント確率密度関数または確率質量関数f(xθ)f(\mathbf{x}|\theta) としよう。その実現x\mathbf{x} 与えられた時、f(xθ)f(\mathbf{x}|\theta)θ\theta の関数として考える L(θx):=f(xθ) L \left( \theta | \mathbf{x} \right) := f \left( \mathbf{x} | \theta \right) 尤度関数likelihood functionという。

説明

最尤推定量を議論する文脈では、サンプルはiidである必要があるが、尤度原理likelihood Principleを議論する時は、確率変数を特別に考える必要なく、確率ベクターそのものを見ても大丈夫である。

パラメータθ\thetaについて、二つのパラメータθ1\theta_{1}θ2\theta_{2}L(θ1x)L(θ2x) L \left( \theta_{1} | \mathbf{x} \right) \ge L \left( \theta_{2} | \mathbf{x} \right) の場合、θ\thetaに対してθ1\theta_{1}θ2\theta_{2}よりもっともっともらしいplausibleと言われる。


  1. Casella. (2001). Statistical Inference(2nd Edition): p290. ↩︎