📂数理統計学

尤度関数の定義

定義 ¹

サンプル $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)$ のジョイント確率密度関数または確率質量関数を$f(\mathbf{x}|\theta)$ としよう。その実現が$\mathbf{x}$ 与えられた時、$f(\mathbf{x}|\theta)$を$\theta$ の関数として考える $$ L \left( \theta | \mathbf{x} \right) := f \left( \mathbf{x} | \theta \right) $$ を尤度関数^{likelihood function}という。

説明

最尤推定量を議論する文脈では、サンプルはiidである必要があるが、尤度原理^{likelihood Principle}を議論する時は、確率変数を特別に考える必要なく、確率ベクターそのものを見ても大丈夫である。

パラメータ$\theta$について、二つのパラメータ$\theta_{1}$と$\theta_{2}$が $$ L \left( \theta_{1} | \mathbf{x} \right) \ge L \left( \theta_{2} | \mathbf{x} \right) $$ の場合、$\theta$に対して$\theta_{1}$が$\theta_{2}$よりもっともっともらしい^plausibleと言われる。