スターリングの公式の統計的証明
📂数理統計学スターリングの公式の統計的証明
정리
n→∞limenlnn−n2πnn!=1
설명
スターリングの近似またはスターリングの公式stirling formulaは、統計学や物理学など様々な場所で役立つ。確率分布論に精通していれば、数理統計学的な証明は他の証明に比べ直感的で理解しやすい。
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証明
X1,⋯,Xn∼iidexp(1) とする。
指数分布とガンマ分布の関係:
Γ(1,λ1)⟺exp(λ)
ガンマ分布の和: Xi∼Γ(ki,θ) ならば
i=1∑nXi∼Γ(i=1∑nki,θ)
X1,⋯,Xn はiidなので、Y=∑k=1nXk は自由度がn,1 のガンマ分布に従って、Γ(n,1) とする。一方 EXk=VarXk=1 のため、中心極限定理によれば n→∞ の時
1/n∑k=1nXk/n−1→DN(0,1)
となる。つまり、Z が標準正規分布に従う確率変数とすると、全ての x∈R に対して
⟹⟹P(1/nY/n−1≤x)→P(Z≤x)P(Y/n≤nx+1)→P(Z≤x)P(Y≤nx+n)→P(Z≤x)
である。十分に大きい n∈N について、累積分布関数 F□ に対して
FY(nx+n)≈FZ(x)
と表せる。
ガンマ分布の確率密度関数
f(x)=Γ(k)θk1xk−1e−x/θ,x>0
標準正規分布の確率密度関数
f(z)=2π1exp[−2z2]
両辺を x で微分すると、微積分の基本定理により
n⋅Γ(n)1n1(nx+n)n−1e−(nx+n)/1≈2π1exp[−2x2]
ここで、x=0 ならば次を得る。
n⋅Γ(n)1(n)n−1e−n≈2π1
ガンマ関数は階乗の一般化でもあるので、Γ(n)=(n−1)! で、両辺に (n−1)!2π を掛けると
2πne(n−1)logne−n≈(n−1)!
整理すると
⟹⟹enlogn−ne−logn2πn≈(n−1)!enlogn−nn12πn≈(n−1)!enlogn−n2πn≈n!
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