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スターリングの公式の統計的証明 📂数理統計学

スターリングの公式の統計的証明

정리

lim⁡n→∞n!enln⁡n−n2πn=1 \lim_{n \to \infty} {{n!} \over {e^{n \ln n - n} \sqrt{ 2 \pi n} }} = 1

설명

スターリングの近似またはスターリングの公式stirling formulaは、統計学や物理学など様々な場所で役立つ。確率分布論に精通していれば、数理統計学的な証明は他の証明に比べ直感的で理解しやすい。

같이見る

証明

X1,⋯ ,Xn∼iidexp⁡(1)X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} \exp (1) とする。

指数分布とガンマ分布の関係: Γ(1,1λ)  ⟺  exp(λ) \displaystyle \Gamma \left(1, { 1 \over \lambda } \right) \iff \text{exp} (\lambda)

ガンマ分布の和: Xi∼Γ(ki,θ)X_i \sim \Gamma ( k_{i}, \theta) ならば ∑i=1nXi∼Γ(∑i=1nki,θ) \displaystyle \sum_{i=1}^{n} X_{i} \sim \Gamma \left( \sum_{i=1}^{n} k_{i} , \theta \right)

X1,⋯ ,XnX_{1} , \cdots , X_{n} はiidなので、Y=∑k=1nXkY = \sum_{k=1}^{n} X_{k} は自由度がn,1n,1 のガンマ分布に従って、Γ(n,1)\Gamma (n,1) とする。一方 EXk=Var⁡Xk=1E X_{k} = \operatorname{Var} X_{k} = 1 のため、中心極限定理によれば n→∞n \to \infty の時 ∑k=1nXk/n−11/n→DN(0,1) {{ \sum_{k=1}^{n} X_{k}/n - 1 } \over { 1 / \sqrt{n} }} \overset{D}{\to} N (0,1) となる。つまり、ZZ が標準正規分布に従う確率変数とすると、全ての x∈Rx \in \mathbb{R} に対して P(Y/n−11/n≤x)→P(Z≤x)  ⟹  P(Y/n≤xn+1)→P(Z≤x)  ⟹  P(Y≤nx+n)→P(Z≤x) \begin{align*} & P \left( {{ Y/n - 1 } \over { 1 / \sqrt{n} }} \le x \right) \to P \left( Z \le x \right) \\ \implies & P \left( Y/n \le {{ x } \over { \sqrt{n} }} + 1 \right) \to P \left( Z \le x \right) \\ \implies & P \left( Y \le \sqrt{n} x + n \right) \to P \left( Z \le x \right) \end{align*} である。十分に大きい n∈Nn \in \mathbb{N} について、累積分布関数 F□F_{\square} に対して FY(nx+n)≈FZ(x) F_{Y} \left( \sqrt{n} x + n \right) \approx F_{Z} (x) と表せる。

ガンマ分布の確率密度関数 f(x)=1Γ(k)θkxk−1e−x/θ,x>0 f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} \qquad , x > 0

標準正規分布の確率密度関数 f(z)=12πexp⁡[−z22] f(z) = {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} }} \exp \left[ - {{ z^{2} } \over { 2 }} \right]

両辺を xx で微分すると、微積分の基本定理により n⋅1Γ(n)1n(nx+n)n−1e−(nx+n)/1≈12πexp⁡[−x22] \sqrt{n} \cdot {{ 1 } \over { \Gamma ( n ) 1^{n} }} \left( \sqrt{n} x + n \right)^{n - 1} e^{ - \left( \sqrt{n} x + n \right) / 1} \approx {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} }} \exp \left[ - {{ x^{2} } \over { 2 }} \right] ここで、x=0x = 0 ならば次を得る。 n⋅1Γ(n)(n)n−1e−n≈12π \sqrt{n} \cdot {{ 1 } \over { \Gamma ( n ) }} \left( n \right)^{n - 1} e^{ - n } \approx {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} }} ガンマ関数は階乗の一般化でもあるので、Γ(n)=(n−1)!\Gamma (n) = (n-1)! で、両辺に (n−1)!2π(n-1)!\sqrt{2\pi} を掛けると 2πne(n−1)log⁡ne−n≈(n−1)! \sqrt{2 \pi n} e^{(n-1) \log n} e^{-n} \approx (n-1)! 整理すると enlog⁡n−ne−log⁡n2πn≈(n−1)!  ⟹  enlog⁡n−n1n2πn≈(n−1)!  ⟹  enlog⁡n−n2πn≈n! \begin{align*} & e^{n\log n - n} e^{-\log n} \sqrt{2 \pi n} \approx (n-1)! \\ \implies & e^{n\log n - n} {{ 1 } \over { n }} \sqrt{2 \pi n} \approx (n-1)! \\ \implies & e^{n\log n - n} \sqrt{2 \pi n} \approx n! \end{align*}

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