📂数理統計学

確率密度関数の畳み込み公式

式 ¹

２つの独立した連続確率変数 $X, Y$ の確率密度関数が $f_{X}, f_{Y}$ で与えられるとする。それでは、$Z := X + Y$ の確率密度関数は２つの確率密度関数の畳み込み $f_{Z} = f_{X} \ast f_{Y}$ である。 $$ f_{Z} (z) = \left( f_{X} \ast f_{Y} \right) (z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X} (w) f_{Y} (z-w) dw $$

導出

$W := X$ とすると、ヤコビアンは $$ \begin{Vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{Vmatrix} = \left| -1 \right| = 1 $$ であり、$Z$ と $W$ の結合確率密度関数 $f_{Z,W}$ は $$ f_{Z,W} \left( z,w \right) = f_{X,Y} \left( w, z-w \right) = f_{X} (w) f_{Y} (z-w) $$ である。従って、$Z$ の周辺確率密度関数は $-\infty < w < \infty$ の定積分によって次のように求められる。 $$ f_{Z} (z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X} (w) f_{Y} (z-w) |1| dw $$

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