📂レンマ

二項定理の証明

定義

1. 有限集の部分集合を組み合わせ^combinationとする。
2. 基数が$n$である集合から基数が$r$である部分集合の数を${_n C _r}$と表し、二項係数^{binomial coefficient}と呼ぶ。 $${_n C _r} = \binom{n}{r} = {{ n! } \over { r ! (n-r)! }}$$

定理

二項定理^{binomial theorem}

$$(x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{r} y^{n-r}$$

二項係数減法公式

$$\binom{m}{x} \left( {\frac{ m }{ x }} \right)^{-1} = \binom{m-1}{x-1}$$

説明

参考として上記で二項定理を除き、他の公式の名前は実際に使われている名称ではなく、便宜上付けたものであることに注意しろ。

二項定理は組合せ論において最も有名で重要な定理であり、分野を問わず広く応用される。

証明

二項定理以外の証明は各公式ごとの文書で別に扱う。

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$(x+y)^{n}$を展開するとき、$x^{r} y^{n-r}$の係数は $$(x+y)^{n} = (x+y)(x+y)(x+y) \cdots (x+y)$$ の各$(x+y)$の中から$x$を$n$個、$y$を$n-r$個選ぶことと同じである。したがって組み合わせの数$_n C _r$が$x^{r} y^{n-r}$の係数となるので次が成り立つ。 $$(x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{r} y^{n-r}$$

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