二項定理の証明

概要

$$ (x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{r} y^{n-r} $$ ここで、${_n C _r}$ を 二項係数^{binomial Coefficient}と定義する。 $$ {_n C _r} = \binom{n}{r} = {{ n! } \over { r ! (n-r)! }} $$

説明

高校で学ぶにはとても役に立つもので、学んだ直後から多くの場面で使用される定理だ。その柔軟性から、多くの公式を一気に導出でき、分野を問わず広く使用される。

証明

$(x+y)^{n}$ を展開するとき、$x^{r} y^{n-r}$ の係数は $$ (x+y)^{n} = (x+y)(x+y)(x+y) \cdots (x+y) $$ $(x+y)$ の各 $x$ を $n$ 回、$y$ を $n-r$ 回選択することと同じである。したがって、組合せ $_n C _r$ が $x^{r} y^{n-r}$ の係数になるので、 $$ (x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{r} y^{n-r} $$

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