📂確率微分方程式

ランベルト変換

定義 ¹

$$d X_{t} = f \left( t , X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t}$$ 拡散$g$が$X_{t}$にのみ依存し、時間$t$には依存しない確率微分方程式が上記のように与えられているとする。次のような変換$F : X_{t} \mapsto Y_{t}$をランペルティ変換という。 $$Y_{t} := F \left( X_{t} \right) = \left. \int {{ 1 } \over { g (u) }} du \right|_{u = X_{t}}$$ このように得られた$\left\{ Y_{t} \right\}$は、次のように単位拡散を持つ変換されたSDEの解である。 $$d Y_{t} = \left[ {{ f \left( t, X_{t} \right) } \over { g \left( X_{t} \right) }} - {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial g \left( X_{t} \right) } \over { \partial x }} \right] dt + d W_{t}$$

証明

伊藤の公式を使って確認するだけだ。

伊藤の公式：伊藤過程$\left\{ X_{t} \right\}_{t \ge 0}$が与えられたとする。 $$d X_{t} = u dt + v d W_{t}$$ 函数$V \left( t, X_{t} \right) = V \in C^{2} \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right)$について$Y_{t} := V \left( t, X_{t} \right)$とおくと、$\left\{ Y_{t} \right\}$もまた伊藤過程であり、次が成り立つ。 $$\begin{align*} d Y_{t} =& V_{t} dt + V_{x} d X_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} \left( d X_{t} \right)^{2} \\ =& \left( V_{t} + V_{x} u + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} v^{2} \right) dt + V_{x} v d W_{t} \end{align*}$$

説明

ランペルティ変換は元の伊藤過程から複雑な非線形項をドリフト項に集約し、拡散項を$1$に固定する。

例

$$d X_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma X_{t} dt$$ 幾何ブラウン運動を考えよう。$f(x) = \mu x$で$g(x) = \sigma x$であるから、そのランペルティ変換は $$\begin{align*} d Y_{t} =& {{ f \left( t, X_{t} \right) } \over { g \left( X_{t} \right) }} - {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial g\left( X_{t} \right) } \over { \partial x }} dt + d W_{t} \\ =& {{ \mu X_{t} } \over { \sigma X_{t} }} - {{ 1 } \over { 2 }} \sigma dt + d W_{t} \\ =& \left( {{ \mu } \over { \sigma }} - {{ 1 } \over { 2 }} \sigma \right) dt + d W_{t} \end{align*}$$ であり、その解$Y_{t}$は次のようになる。 $$\begin{align*} Y_{t} =& \left. \int {{ 1 } \over { g (u) }} du \right|_{u = X_{t}} \\ =& \left. \int {{ 1 } \over { \sigma u }} du \right|_{u = X_{t}} \\ =& \left. {{ 1 } \over { \sigma }} \log u \right|_{u = X_{t}} \\ =& {{ \log X_{t} } \over { \sigma }} \end{align*}$$