📂確率微分方程式

オイラー・マルヤマ法の導出

メソッド ¹

$$d X(t) = f \left( X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t} \qquad , t \in [t_{0}, T]$$ 伊藤過程が上に示された自律確率微分方程式のソリューションとして与えられているとしよう。間隔が$h$で一定の等間隔時間点$\left\{ t_{i} \le T : t_{i+1} = t_{i} + h \right\}_{i=0}^{N}$に対して、以下のように計算される$Y_{i} := Y \left( t_{i} \right)$は、与えられた微分方程式の数値的解だ。 $$Y_{i+1} = Y_{i} + f \left( Y_{i} \right) h + g \left( Y_{i} \right) \sqrt{h} Z$$ ここで$Z$は、標準正規分布に従う確率変数だ。

収束性

このソリューションは強く$\gamma = 1/2$次収束し、弱く$\beta = 1$次収束する。

説明

オイラー・マルヤマ近似スキーム^{euler-Maruyama Approximation Scheme}は、確率微分方程式を数値的に解く最も単純な方法で、概念的には通常の微分方程式を解くオイラー法と変わらず、実際の計算をする立場からは、ただ式を見てそのまま書き写すシミュレーションそのものだ。

導出

$$X_{t+h} = X_{t} + \int_{t}^{t+h} f(s) ds + \int_{t}^{t+h} g(s) d W_{s}$$ 伊藤過程の積分形を考えよう。ドリフト項は $$\int_{t}^{t+h} f(s) ds \approx f \left( X_{t} \right) \int_{t}^{t+h} ds = f \left( X_{t} \right) h$$ であり、拡散項は $$\begin{align*} \int_{t}^{t+h} g(s) dW_{s} \approx& g \left( X_{t} \right) \int_{t}^{t+h} dW_{s} \\ =& g \left( X_{t} \right) \left( W_{t+h} - W_{t} \right) \\ =& g \left( X_{t} \right) \Delta W_{t} \end{align*}$$ だ。ウィーナー過程のインクリメント$W_{t+h} - W_{t}$は、正規分布$N \left( 0, h \right)$に従うので、$\Delta W_{t+h} \sim \sqrt{h} N \left( 0 , 1 \right)$である。したがって、標準正規分布に従う確率変数$Z$に対して、以下のように表現できる。 $$X_{i+h} = X_{i} + f \left( X_{i} \right) h + g \left( X_{i} \right) \sqrt{h} Z$$

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