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オルンシュタイン＝ウーレンベック方程式 📂確率微分方程式

オルンシュタイン＝ウーレンベック方程式

定義 1

dXt=aXtdt+σdWt d X_{t} = a X_{t} dt + \sigma d W_{t} a,σ∈Ra , \sigma \in \mathbb{R} とする。上記した確率微分方程式を オルンスタイン・ウーレンベック方程式Ornstein-Uhlenbeck equationと呼び、その解である確率過程 XtX_{t} を オルンスタイン・ウーレンベック過程という。 Xt=X0eat+σ∫0tea(t−s)dWs X_{t} = X_{0} e^{a t} + \sigma \int_{0}^{t} e^{a (t-s)} d W_{s}

説明 2

オルンスタイン・ウーレンベック方程式は、ランジュバン方程式Langevin equationとも呼ばれる。

a<0a < 0 の場合、XtX_{t} と aXtdta X_{t} dt の符号が反転して、定常的stationaryな動きを見せる。Xt>0X_{t} > 0 の時は小さくなり、Xt<0X_{t} < 0 の時は大きくなり、XtX_{t} がどこにいても 00 に戻ろうとする。これを μ∈R\mu \in \mathbb{R} に一般化すると、次のような平均復帰mean-revertingオルンスタイン・ウーレンベック過程を解とするSDEを得る。 dXt=a(Xt−μ)dt+σdWt,a<0 d X_{t} = a \left( X_{t} - \mu \right) dt + \sigma d W_{t} \qquad , a < 0 このオルンスタイン・ウーレンベック過程は、平均 μ\mu を中心に揺れるブラウン運動と見なすことができる。

解法

dXt=aXtdt+σdWt d X_{t} = a X_{t} dt + \sigma d W_{t} 両辺に e−ate^{-a t} をかけて次を得る。 e−atdXt=e−atXt+σe−atdWt e^{-a t}d X_{t} = e^{-a t} X_{t} + \sigma e^{-a t} d W_{t} d(e−atXt)d \left( e^{-a t} X_{t} \right) を計算すると、 d(e−atXt)dt=−ae−atXt+e−atdXtdt  ⟹  d(e−atXt)=−ae−atXtdt+e−atdXt {{ d \left( e^{-a t} X_{t} \right) } \over { dt }} = -a e^{-a t} X_{t} + e^{-a t} {{ d X_{t} } \over { dt }} \\ \implies d \left( e^{-a t} X_{t} \right) = -a e^{-a t} X_{t} dt + e^{-a t} d X_{t} 従って、 e−atdXt=ae−atXtdt+d(e−atXt)=ae−atXtdt+σe−atdWt \begin{align*} e^{-a t}d X_{t} =& a e^{-a t} X_{t} dt + d \left( e^{-a t} X_{t} \right) \\ =& a e^{-a t} X_{t} dt + \sigma e^{-a t} d W_{t} \end{align*} ae−atXtdta e^{-a t} X_{t} dt を整理し、∫0t\int_{0}^{t} を取ると次のようになる。 d(e−atXt)=σe−atdWt  ⟹  ∫0td(e−asXs)=∫0tσe−asdWs  ⟹  e−atXt−X0=∫0tσe−asdWs  ⟹  e−atXt=X0+∫0tσe−asdWs  ⟹  Xt=eatX0+∫0tσea(t−s)dWs \begin{align*} & d \left( e^{-a t} X_{t} \right) = \sigma e^{-a t} d W_{t} \\ \implies& \int_{0}^{t} d \left( e^{-a s} X_{s} \right) = \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& e^{-a t} X_{t} - X_{0} = \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& e^{-a t} X_{t} = X_{0} + \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& X_{t} = e^{a t} X_{0} + \int_{0}^{t} \sigma e^{a (t-s)} d W_{s} \end{align*}

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  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p74. ↩︎

  2. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p144. ↩︎