📂確率微分方程式

オルンシュタイン＝ウーレンベック方程式

定義 ¹

$$ d X_{t} = a X_{t} dt + \sigma d W_{t} $$ $a , \sigma \in \mathbb{R}$ とする。上記した確率微分方程式を オルンスタイン・ウーレンベック方程式^{Ornstein-Uhlenbeck equation}と呼び、その解である確率過程 $X_{t}$ を オルンスタイン・ウーレンベック過程という。 $$ X_{t} = X_{0} e^{a t} + \sigma \int_{0}^{t} e^{a (t-s)} d W_{s} $$

説明 ²

オルンスタイン・ウーレンベック方程式は、ランジュバン方程式^{Langevin equation}とも呼ばれる。

$a < 0$ の場合、$X_{t}$ と $a X_{t} dt$ の符号が反転して、定常的^stationaryな動きを見せる。$X_{t} > 0$ の時は小さくなり、$X_{t} < 0$ の時は大きくなり、$X_{t}$ がどこにいても $0$ に戻ろうとする。これを $\mu \in \mathbb{R}$ に一般化すると、次のような平均復帰^{mean-reverting}オルンスタイン・ウーレンベック過程を解とするSDEを得る。 $$ d X_{t} = a \left( X_{t} - \mu \right) dt + \sigma d W_{t} \qquad , a < 0 $$ このオルンスタイン・ウーレンベック過程は、平均 $\mu$ を中心に揺れるブラウン運動と見なすことができる。

解法

$$ d X_{t} = a X_{t} dt + \sigma d W_{t} $$ 両辺に $e^{-a t}$ をかけて次を得る。 $$ e^{-a t}d X_{t} = e^{-a t} X_{t} + \sigma e^{-a t} d W_{t} $$ $d \left( e^{-a t} X_{t} \right)$ を計算すると、 $$ {{ d \left( e^{-a t} X_{t} \right) } \over { dt }} = -a e^{-a t} X_{t} + e^{-a t} {{ d X_{t} } \over { dt }} \\ \implies d \left( e^{-a t} X_{t} \right) = -a e^{-a t} X_{t} dt + e^{-a t} d X_{t} $$ 従って、 $$ \begin{align*} e^{-a t}d X_{t} =& a e^{-a t} X_{t} dt + d \left( e^{-a t} X_{t} \right) \\ =& a e^{-a t} X_{t} dt + \sigma e^{-a t} d W_{t} \end{align*} $$ $a e^{-a t} X_{t} dt$ を整理し、$\int_{0}^{t}$ を取ると次のようになる。 $$ \begin{align*} & d \left( e^{-a t} X_{t} \right) = \sigma e^{-a t} d W_{t} \\ \implies& \int_{0}^{t} d \left( e^{-a s} X_{s} \right) = \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& e^{-a t} X_{t} - X_{0} = \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& e^{-a t} X_{t} = X_{0} + \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& X_{t} = e^{a t} X_{0} + \int_{0}^{t} \sigma e^{a (t-s)} d W_{s} \end{align*} $$

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