📂行列代数

フロベニウスノルム

定義 ¹

行列 $A = \left( a_{ij} \right) \in \mathbb{C}^{m \times n}$ に対して 行列のノルム $\left\| \cdot \right\|_{F}$ を次のように定義し、フロベニウスノルム^{Frobenius norm}と呼ぶ。 $$ \left\| A \right\|_{F} = \sqrt{ \sum_{ij} \left| a_{ij} \right|^{2} } = \sqrt{ \text{Tr} \left( A^{\ast} A \right) } $$

説明

フロベニウスノルムは ヒルベルト＝シュミットノルムとも呼ばれる。 $n = 1$、つまり $m$次元ベクトル空間ではユークリッドノルムになるため、ユークリッドノルムの自然な一般化と見なせる。

フロベニウスという名前は大げさに見えるが、定義自体は全く難しくないので気楽に考えればよい。単に「ノルム」と書き $\| \cdot \|$ と表記する場合も多く、フロベニウス$(\| \cdot \|_{F})$という表現は対象が行列であることを強調するときに用いると考えればよい。

これと類似して、行列の内積を フロベニウス内積 と呼ぶこともある。

$$ \braket{A, B}_{F} := \sum\limits_{i = 1}^{m} \sum\limits_{j = 1}^{n} \overline{a_{ij}}b_{ij}, \qquad A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) $$

$$ \| A \|_{F} = \sqrt{\braket{A, A}_{F}} = \sqrt{\sum_{i,j} |a_{ij}|^{2}} = \sqrt{\Tr(A^{\ast}A)} $$

性質

$A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$、$\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$ とする。次が成り立つ。（ベクトルと行列に対するノルムと内積は下付き $_{F}$ で区別する。）

(a) $A$ の 固有値 $\lambda_{i}$ に関して、 $\| A \|_{F} = \sqrt{\sum_{i} |\lambda_{i}|^{2}}$

(b) $\| A \mathbf{x} \| \le \| A \|_{F} \| \mathbf{x} \|$

(c) $\| A B \|_{F} \le \| A \|_{F} \| B \|_{F}$

証明

(a)

$A^{\ast}A$ は エルミート行列であるから、ユニタリ対角化 $A^{\ast}A = Q^{\ast} \Lambda Q$ が可能である。 $\lambda_{i}$ を $A$ の固有値とすれば、$A^{\ast}A$ の固有値は ▷eq21◯であるから次を得る。 トレースの循環性質 により、

$$ \begin{align*} \| A \|_{F} &= \sqrt{\Tr(A^{\ast}A)} = \sqrt{\Tr(Q^{\ast} \Lambda Q)} \\ &= \sqrt{\Tr(\Lambda Q Q^{\ast})} = \sqrt{\Tr(\Lambda)} \\ &= \sqrt{\sum_{i} |\lambda_{i}|^{2}} \end{align*} $$

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(b)

内積とノルムの性質とトレースの循環性質、コーシー＝シュワルツ不等式により次が成り立つ。

$$ \begin{align*} \| A \mathbf{x} \| &= \sup\limits_{\| \mathbf{y} \| = 1} | \braket{\mathbf{y}, A \mathbf{x}} | \\ &= \sup\limits_{\| \mathbf{y} \| = 1} | \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} | \\ &= \sup\limits_{\| \mathbf{y} \| = 1} \Tr( | \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} | ) \\ &= \sup\limits_{\| \mathbf{y} \| = 1} \Tr( | \mathbf{x} \mathbf{y}^{\ast} A | ) \\ &= \sup\limits_{\| \mathbf{y} \| = 1} \Tr( | \braket{\mathbf{y} \mathbf{x}^{\ast}, A}_{F} | ) \\ &= \sup\limits_{\| \mathbf{y} \| = 1} | \braket{\mathbf{y} \mathbf{x}^{\ast}, A}_{F} | \\ &\le \sup\limits_{\| \mathbf{y} \| = 1} \| \mathbf{y} \mathbf{x}^{\ast} \|_{F} \| A \|_{F} \\ \end{align*} $$

ここで行列ノルムの性質により次が成り立つ。

$$ \begin{align*} \| \mathbf{y} \mathbf{x}^{\ast} \|_{F} &= \sqrt{\Tr \left( (\mathbf{y} \mathbf{x}^{\ast})^{\ast} \mathbf{y} \mathbf{x}^{\ast} \right)} \\ &= \sqrt{\Tr \left( \mathbf{x} \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{y} \mathbf{x}^{\ast} \right)} \\ &= \sqrt{\Tr \left( \mathbf{x} \| \mathbf{y} \|^{2} \mathbf{x}^{\ast} \right)} \\ &= \sqrt{\| \mathbf{y} \|^{2} \Tr \left( \mathbf{x} \mathbf{x}^{\ast} \right)} \\ &= \sqrt{\| \mathbf{y} \|^{2} \Tr \left( \| \mathbf{x} \|^{2} \right)} \\ &= \sqrt{\| \mathbf{y} \|^{2} \| \mathbf{x} \|^{2} } \\ &= \| \mathbf{y} \| \| \mathbf{x} \| \end{align*} $$

したがって次を得る。

$$ \| A \mathbf{x} \| \le \sup\limits_{\| \mathbf{y} \| = 1} \| \mathbf{y} \| \| \mathbf{x} \| \| A \|_{F} = \| A \|_{F} \| \mathbf{x} \| $$

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(c)

$\| AB \|_{F}$ に対して次が成り立つ。

$$ \| AB \|_{F} = \sqrt{\Tr \left( (AB)^{\ast} AB \right)} = \sqrt{\Tr \left( B^{\ast} A^{\ast} AB \right)} $$

$A^{\ast}A$ は エルミート行列であるから、ユニタリ対角化 $A^{\ast}A = Q^{\ast} D Q$ が可能である。 $C = QB$ と置けば次を得る。

$$ \| AB \|_{F} = \sqrt{\Tr \left( B^{\ast}Q^{\ast} D QB \right)} = \sqrt{\Tr \left( C^{\ast} D C \right)} $$

$\Tr(C^{\ast} D C)$ は以下のようである。 $\lambda_{i}$ を $A$ の固有値とすれば、

$$ \Tr(C^{\ast} D C) = \Tr \left( \begin{bmatrix} -\mathbf{c}_{1}^{\ast}- \\ \vdots \\ -\mathbf{c}_{n}^{\ast}- \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1}^{2} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n}^{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overset{|}{\underset{|}{\mathbf{c}_{1}}} & \cdots & \overset{|}{\underset{|}{\mathbf{c}_{n}}} \end{bmatrix} \right) = \sum\limits_{i} \lambda_{i}^{2} \| \mathbf{c}_{i} \|^{2} $$

一方 $\| A \|_{F} = \sqrt{\sum\limits_{i} |\lambda_{i}|^{2}}$ であり、 $\| B \|_{F} = \sqrt{\Tr (C^{\ast}Q Q^{\ast} C)} = \sqrt{\sum\limits_{i} \| \mathbf{c}_{i} \|}$ であるから、次を得る。

$$ \| AB \|_{F} = \sqrt{\sum\limits_{i} |\lambda_{i}|^{2} \| \mathbf{c}_{i} \|^{2}} \le \sqrt{\sum\limits_{i} |\lambda_{i}|^{2}} \sqrt{\sum\limits_{i} \| \mathbf{c}_{i} \|^{2}} = \| A \|_{F} \| B \|_{F} $$

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