📂行列代数

フロベニウスノルム

定義 ¹

行列 $A = \left( a_{ij} \right) \in \mathbb{C}^{m \times n}$ に対する行列のノルム $\left\| \cdot \right\|_{F}$ を以下のように定義し、フロベニウスノルム^{Frobenius norm}と呼ぶ。 $$ \left\| A \right\|_{F} = \sqrt{ \sum_{ij} \left| a_{ij} \right|^{2} } = \sqrt{ \text{Tr} \left( A A^{\ast} \right) } $$

説明

フロベニウスノルムはヒルベルト・シュミットノルムとも呼ばれる。$n = 1$、つまり$m$次元のベクトルの空間ではユークリッドノルムになるので、ユークリッドノルムの自然な一般化と見ることができる。

フロベニウスという名前が難しそうに見えるかもしれないが、定義自体は全く難しくないから、簡単に考えればいい。