📂確率微分方程式

伊藤過程

定義 ¹

確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ と フィルトレーション $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ が与えられて、ウィーナープロセス $\left\{ W_{t} \right\}_{t \ge 0}$ が $\mathcal{F}_{t}$-適応していて、$f \in \mathcal{L}^{1} [0 , \infty)$ と $g \in \mathcal{L}^{2} [0 , \infty)$ に対して、以下のような $1$次元連続 $\mathcal{F}_{t}$-適応 確率過程 $\left\{ X_{t} \right\}_{t \ge 0}$ を$1$ 次元 イートープロセスという。 $$X (t) := X_{0} + \int_{0}^{t} f(s) ds + \int_{0}^{t} g(s) d W_{s}$$

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• $\mathcal{L}^{p} (E)$ は、定義域が $E$ である関数たちを集めたルベーグ空間だ。

説明

普通、上の定義そのままでは、積分記号が多くて使いづらいので、確率微分を使って次のように表されることが多い。 $$d X(t) = f(t) dt + g(t) d W_{t}$$

一般化 ²

$i \ne j \implies W_{i} (t) \perp W_{j}$ 次元ブラウニアン モーション $\left\{ \mathbf{W}_{t} \right\}_{t \ge 0} := \left( W_{1} (t) , \cdots , W_{m} (t) \right)$ が $\mathcal{F}_{t}$-適応していて $$\begin{align*} \mathbf{f} (t) = \left( f_{1} (t) , \cdots , f_{d} (t) \right) \in & \mathcal{L}^{1} \left( [0, \infty)^{d} \right) \\ \mathbf{g} (t) = \begin{bmatrix} g_{11} (t) & \cdots & g_{1m} (t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{d1} (t) & \cdots & g_{dm} (t) \end{bmatrix} \in & \mathcal{L}^{2} \left( [0, \infty)^{d \times m} \right) \end{align*}$$ ベクトル関数 $\mathbf{f} : [0, \infty) \to \mathbb{R}^{d}$ と 行列関数 $\mathbf{g} : [0, \infty) \to \mathbb{R}^{d \times m}$ に対して、以下のような $d$次元連続 $\mathcal{F}_{t}$-適応 確率過程 $\left\{ \mathbf{X}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ を$d$ 次元 イートープロセスという。 $$\mathbf{X} (t) := \mathbf{X}_{0} + \int_{0}^{t} \mathbf{f}(s) ds + \int_{0}^{t} \mathbf{g}(s) d \mathbf{W}_{s}$$ もちろん、これも以下のような確率微分形で書ける。 $$d \mathbf{X}(t) = \mathbf{f}(t) dt + \mathbf{g}(t) d \mathbf{W}_{t}$$