平面と法線ベクトルの交点
📂幾何学平面と法線ベクトルの交点
定義
2次元のユークリッド空間の部分集合U⊂R2が座標u1、u2を持っているとしよう、x1、x2をシンプルな曲面x:U→R3での方向偏微分としよう。
x1:=∂u1∂x,x2:=∂u2∂x
- 点p=x(a,b)でのx1×x2と垂直な平面をpでの接平面tangent Planeという。
- 次のように定義されたnをpの単位法線unit Normalという。
n(a,b):=∣x1×x2∣x1×x2
説明
曲線を語る時に接線を考えたのと同じように、曲面での接平面を考えることは非常に自然なことだ。pでの接平面は、pの周りで曲面を最もよく近似する平面だ。
シンプルな曲面の定義からx1×x2=0であるため、法線nの存在は常に保証されている。
次の定理から、接平面は接ベクトルの集合と同じであり、ベクトル空間になることが分かる。このため、接平面は接空間tangent spaceと呼ばれる。曲面Mの点p上の接空間をTpMと表示する。
定理
シンプルな曲面x:U→R3の点p=x(a,b)での全ての接ベクトルの集合は、基底が{x1(a,b),x2(a,b)}である2次元のベクトル空間である。またpでの接平面は、R3の何らかの原点を通る直線と平行である。
証明
点pでの接ベクトルx1,x2は線形独立である。(x1×x2=0であるので)pでの全ての接ベクトルの集合はベクトル空間であるため、これは少なくとも2次元以上のベクトル空間である。このベクトル空間が2次元であることを示すためには、{x1,x2}がこれを生成することを示せば良い。
Xを点pでの接ベクトルとしよう。そしてγを、γ(0)=p,γ˙(0)=Xであるx(U)上の曲線とする。そして、γ(t)を次のように表現しよう。
γ(t)=x(γ1(t),γ2(t))
それから、連鎖規則によって、
dtdγ=∂u1∂xdtdγ1+∂u2∂xdtdγ2=i∑dtdγixi
⟹X=dtdγ(0)=i∑dtdγi(0)xi(a,b)
任意の接ベクトルXが{xi}たちの線形結合で示されるので、{xi}はpでの全ての接ベクトルの集合を生成する。したがって、p=x(a,b)での全ての接ベクトルの集合は、基底が{x1(a,b),x2(a,b)}である2次元のベクトル空間である。