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平面と法線ベクトルの交点 📂幾何学

平面と法線ベクトルの交点

定義1

22次元のユークリッド空間の部分集合UR2U \subset \mathbb{R}^{2}が座標u1u_{1}u2u_{2}を持っているとしよう、x1\mathbf{x}_{1}x2\mathbf{x}_{2}をシンプルな曲面x:UR3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}での方向偏微分としよう。

x1:=xu1,x2:=xu2 \begin{align*} \mathbf{x}_{1} := {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{1} }} & , & \mathbf{x}_{2} := {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{2} }} \end{align*}

  1. p=x(a,b)p = \mathbf{x} (a,b)でのx1×x2\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}垂直平面ppでの接平面tangent Planeという。
  2. 次のように定義されたn\mathbf{n}pp単位法線unit Normalという。 n(a,b):=x1×x2x1×x2 \mathbf{n}(a,b) := {{ \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} } \over { \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right| }}

説明

曲線を語る時に接線を考えたのと同じように、曲面での接平面を考えることは非常に自然なことだ。ppでの接平面は、ppの周りで曲面を最もよく近似する平面だ。

シンプルな曲面の定義からx1×x20\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \ne 0であるため、法線n\mathbf{n}の存在は常に保証されている。

次の定理から、接平面は接ベクトルの集合と同じであり、ベクトル空間になることが分かる。このため、接平面は接空間tangent spaceと呼ばれる。曲面MMの点pp上の接空間をTpMT_{p}Mと表示する。

定理2

シンプルな曲面x:UR3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}の点p=x(a,b)p = \mathbf{x}(a,b)での全ての接ベクトルの集合は、基底が{x1(a,b),x2(a,b)}\left\{ \mathbf{x}_{1}(a,b), \mathbf{x}_{2}(a,b) \right\}である22次元のベクトル空間である。またppでの接平面は、R3\mathbb{R}^{3}の何らかの原点を通る直線と平行である。

証明

ppでの接ベクトルx1,x2\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}は線形独立である。(x1×x20\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \ne \mathbf{0}であるので)ppでの全ての接ベクトルの集合はベクトル空間であるため、これは少なくとも22次元以上のベクトル空間である。このベクトル空間が22次元であることを示すためには、{x1,x2}\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}がこれを生成することを示せば良い。

X\mathbf{X}を点ppでの接ベクトルとしよう。そしてγ\boldsymbol{\gamma}を、γ(0)=p,γ˙(0)=X\boldsymbol{\gamma}(0) = p, \dot{\boldsymbol{\gamma}}(0) = \mathbf{X}であるx(U)\mathbf{x}(U)上の曲線とする。そして、γ(t)\boldsymbol{\gamma}(t)を次のように表現しよう。

γ(t)=x(γ1(t),γ2(t)) \boldsymbol{\gamma}(t) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t) \right)

それから、連鎖規則によって、

dγdt=xu1dγ1dt+xu2dγ2dt=idγidtxi \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d t} = \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}}\dfrac{d \gamma^{1}}{d t} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{2}}\dfrac{d \gamma^{2}}{d t} = \sum_{i}\dfrac{d \gamma^{i}}{d t}\mathbf{x}_{i}

    X=dγdt(0)=idγidt(0)xi(a,b) \implies \mathbf{X} = \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d t}(0) = \sum_{i}\dfrac{d \gamma^{i}}{d t}(0)\mathbf{x}_{i}(a,b)

任意の接ベクトルX\mathbf{X}{xi}\left\{ \mathbf{x}_{i} \right\}たちの線形結合で示されるので、{xi}\left\{ \mathbf{x}_{i} \right\}ppでの全ての接ベクトルの集合を生成する。したがって、p=x(a,b)p=\mathbf{x}(a,b)での全ての接ベクトルの集合は、基底が{x1(a,b),x2(a,b)}\left\{ \mathbf{x}_{1}(a,b), \mathbf{x}_{2}(a,b) \right\}である22次元のベクトル空間である。


  1. Richard S. Millman and George D. Parker、Elements of Differential Geometry (1977)、p81 ↩︎

  2. Richard S. Millman and George D. Parker、Elements of Differential Geometry (1977)、p84-85 ↩︎