順列不等式の証明
📂幾何学順列不等式の証明
定理
長さがLの平面の正規単純閉曲線αが存在するとしよう。
αに囲まれた内部の面積をAとすると、
L2≥4πA
特に、L2=4πAとなる条件はαが円であることだ。
説明
実際にこの定理が言及している事実自体は、水滴が角ばらないで丸く結ぶ理由が物理的に分からなくても、多くの自然現象の中で円に遭遇するため、直感的であれ何であれ、多くの人々に知られている。
等周の名前は周囲が一定であることを意味し、等周不等式は「周囲がLと一定であるとき、内部の面積がいつ最も広くなるか?」に対する答えそのものだ。
証明
Part 0. ビルドアップ
αの接線に平行な2つの直線l1∥l2を考えてみよう。この2つの直線に同時に接する半径r>0の円βの中心Oからl1,l2に平行な方向をy軸とし、それに垂直な方向をx軸とする。

これから4つの点A,B,C,Dを打つが、まずA,Cから打つ。A=α(0)はαがl1に接する点、C=α(s2)はαがl2に接する点だ。ここで、共通のパラメータsに対して2つの曲線を示そうとする。ここで、一般性を失わずに、αは単位スピード曲線、つまり∥α′(s)∥=1と仮定する。
α(s)=(x(s),y(s))β(s)=(z(s),w(s))
すると、円βの座標は、基点s2を基に以下のように表現できる。
z(s)=w(s)=x(s){−r2−x2r2−x2,if 0≤s≤s2,if s2≤s≤L
x軸とx(s)、y軸とy(s)を混同しないように注意しよう。ベクトルとしてx,yを扱うときは、常にαの座標を表す(x(s),y(s))として読むべきだ。