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順列不等式の証明 📂幾何学

順列不等式の証明

定理 1

長さがLLの平面の正規単純閉曲線α\alphaが存在するとしよう。

α\alphaに囲まれた内部の面積をAAとすると、 L24πA L^{2} \ge 4 \pi A 特に、L2=4πAL^{2} = 4 \pi Aとなる条件はα\alphaが円であることだ。

説明

実際にこの定理が言及している事実自体は、水滴が角ばらないで丸く結ぶ理由が物理的に分からなくても、多くの自然現象の中で円に遭遇するため、直感的であれ何であれ、多くの人々に知られている。

等周の名前は周囲が一定であることを意味し、等周不等式は「周囲がLLと一定であるとき、内部の面積がいつ最も広くなるか?」に対する答えそのものだ。

証明

Part 0. ビルドアップ

α\alphaの接線に平行な2つの直線l1l2l_{1} \parallel l_{2}を考えてみよう。この2つの直線に同時に接する半径r>0r>0の円β\betaの中心OOからl1,l2l_{1}, l_{2}に平行な方向をyy軸とし、それに垂直な方向をxx軸とする。

20210429_164841.png

これから4つの点A,B,C,DA,B,C,Dを打つが、まずA,CA,Cから打つ。A=α(0)A = \alpha (0)α\alphal1l_{1}に接する点、C=α(s2)C = \alpha \left( s_{2} \right)α\alphal2l_{2}に接する点だ。ここで、共通のパラメータssに対して2つの曲線を示そうとする。ここで、一般性を失わずに、α\alphaは単位スピード曲線、つまりα(s)=1\left\| \alpha^{\prime}(s) \right\| = 1と仮定する。 α(s)=(x(s),y(s))β(s)=(z(s),w(s)) \alpha (s) = \left( x(s) , y(s) \right) \\ \beta (s) = \left( z(s) , w(s) \right) すると、円β\betaの座標は、基点s2s_{2}を基に以下のように表現できる。 z(s)=x(s)w(s)={r2x2,if 0ss2r2x2,if s2sL \begin{align*} z(s) =& x(s) \\ w(s) =& \begin{cases} - \sqrt{ r^{2} - x^{2} } & , \text{if } 0 \le s \le s_{2} \\ \sqrt{ r^{2} - x^{2} } & , \text{if } s_{2} \le s \le L \end{cases} \end{align*} xx軸とx(s)x(s)yy軸とy(s)y(s)を混同しないように注意しよう。ベクトルとしてx,yx,yを扱うときは、常にα\alphaの座標を表す(x(s),y(s))\left( x(s),y(s) \right)として読むべきだ。


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p64. ↩︎