📂幾何学

順列不等式の証明

定理 ¹

長さが$L$の平面の正規単純閉曲線$\alpha$が存在するとしよう。

$\alpha$に囲まれた内部の面積を$A$とすると、 $$ L^{2} \ge 4 \pi A $$ 特に、$L^{2} = 4 \pi A$となる条件は$\alpha$が円であることだ。

説明

実際にこの定理が言及している事実自体は、水滴が角ばらないで丸く結ぶ理由が物理的に分からなくても、多くの自然現象の中で円に遭遇するため、直感的であれ何であれ、多くの人々に知られている。

等周の名前は周囲が一定であることを意味し、等周不等式は「周囲が$L$と一定であるとき、内部の面積がいつ最も広くなるか？」に対する答えそのものだ。

証明

Part 0. ビルドアップ

$\alpha$の接線に平行な2つの直線$l_{1} \parallel l_{2}$を考えてみよう。この2つの直線に同時に接する半径$r>0$の円$\beta$の中心$O$から$l_{1}, l_{2}$に平行な方向を$y$軸とし、それに垂直な方向を$x$軸とする。

これから4つの点$A,B,C,D$を打つが、まず$A,C$から打つ。$A = \alpha (0)$は$\alpha$が$l_{1}$に接する点、$C = \alpha \left( s_{2} \right)$は$\alpha$が$l_{2}$に接する点だ。ここで、共通のパラメータ$s$に対して2つの曲線を示そうとする。ここで、一般性を失わずに、$\alpha$は単位スピード曲線、つまり$\left\| \alpha^{\prime}(s) \right\| = 1$と仮定する。 $$ \alpha (s) = \left( x(s) , y(s) \right) \\ \beta (s) = \left( z(s) , w(s) \right) $$ すると、円$\beta$の座標は、基点$s_{2}$を基に以下のように表現できる。 $$ \begin{align*} z(s) =& x(s) \\ w(s) =& \begin{cases} - \sqrt{ r^{2} - x^{2} } & , \text{if } 0 \le s \le s_{2} \\ \sqrt{ r^{2} - x^{2} } & , \text{if } s_{2} \le s \le L \end{cases} \end{align*} $$ $x$軸と$x(s)$、$y$軸と$y(s)$を混同しないように注意しよう。ベクトルとして$x,y$を扱うときは、常に$\alpha$の座標を表す$\left( x(s),y(s) \right)$として読むべきだ。