📂幾何学

閉曲線の回転数

ビルドアップ

平面曲線の接線がどれだけ回転するかを論じる前に、適切な角度関数のようなものを先に考えてみたい。平面で、点$p$から水平線(x軸)と接線$t$が作る角の大きさを$\overline{\theta} (p)$のように表示しよう。問題は、その値が$0 \le \overline{\theta} \le 2\pi$であるため、$0$から$\overline{\theta}$まで連続ではないということだ。

これを克服するために、私たちが検討する角度$\theta$は、上述のように象限のつながりで作られる4つの半平面で進行方向に連続であると定義する。平面曲線が正則曲線であれば、突然接線が隣接しない象限に飛ぶ心配がないので、$\theta$の連続性が保証される。もっと簡単には、$0 \le \theta \le 2\pi$のような制限を設けずに、何度も回転すれば進んでいる方向に沿って角度が増えていけばいい。

定義 ¹

長さが$L$の単位スピード閉曲線$\alpha$について、次の整数を$\alpha$の回転数と言う。 $$ i_{\alpha} = {{ \theta (L) - \theta (0) } \over { 2\pi }} = {{ \theta (L) } \over { 2\pi }} $$