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閉曲線の回転数 📂幾何学

閉曲線の回転数

ビルドアップ

平面曲線の接線がどれだけ回転するかを論じる前に、適切な角度関数のようなものを先に考えてみたい。平面で、点ppから水平線(x軸)と接線ttが作る角の大きさをθ(p)\overline{\theta} (p)のように表示しよう。問題は、その値が0θ2π0 \le \overline{\theta} \le 2\piであるため、00からθ\overline{\theta}まで連続ではないということだ。

これを克服するために、私たちが検討する角度θ\thetaは、上述のように象限のつながりで作られる4つの半平面で進行方向に連続であると定義する。平面曲線が正則曲線であれば、突然接線が隣接しない象限に飛ぶ心配がないので、θ\thetaの連続性が保証される。もっと簡単には、0θ2π0 \le \theta \le 2\piのような制限を設けずに、何度も回転すれば進んでいる方向に沿って角度が増えていけばいい。

定義 1

長さがLLの単位スピード閉曲線α\alphaについて、次の整数をα\alphaの回転数と言う。 iα=θ(L)θ(0)2π=θ(L)2π i_{\alpha} = {{ \theta (L) - \theta (0) } \over { 2\pi }} = {{ \theta (L) } \over { 2\pi }}


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p55. ↩︎