📂幾何学

球面上の曲線に関する公式

数式 ¹

単位スピードカーブ$\alpha : I \to \mathbb{R}^{3}$が中心$m$で半径$r$の球面上に置かれているとしよう。すなわち、 $$ \alpha (I) \subset S_{r,m} = \left\{ x \in \mathbb{R}^{3} : \left< x - m , x - m \right> = r^{2} \right\} $$ とすると $\kappa \ne 0$になる。もし$\tau \ne 0$ならば$\rho = 1/\kappa$と$\sigma = 1 / \tau$に対して、 $$ \alpha - m = - \rho N - \rho^{\prime} \sigma B $$ そして、半径に関して整理すると、 $$ r^{2} = \rho^{2} + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} $$

導出

補題: $n$次元内積空間$V$で、$E = \left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$が直交集合であるとすると$E$は$V$の基底であり、全ての$v \in V$に対して、 $$ v = \sum_{k=1}^{n} \left< v , e_{k} \right> e_{k} $$

内積の微分法: $$\left< f, g \right>^{\prime} = \left< f^{\prime}, g \right> + \left< f, g^{\prime} \right>$$

フレネ-セレの公式: $\alpha$が$\kappa (s) \ne 0$の単位スピードカーブであるならば、 $$ \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*} $$

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$$ \left< \alpha (s) - m , \alpha (s) - m \right> = r^{2} $$ 微分すると$r^{2}$が定数であり$T = \alpha^{\prime}$であるため、 $$ \begin{equation} 0 = 2 \left< T , \alpha (s) - m \right> \label{1} \end{equation} $$ 両辺を$2$で割ってからもう一度微分すると、$\alpha$が単位スピードカーブであり、フレネ-セレの公式$T^{\prime} = \kappa N$に従って、 $$ \begin{align*} 0 =& \left< T , \alpha (s) - m \right>^{\prime} \\ =& \left< T^{\prime} , \alpha (s) - m \right> + \left< T ,T \right> \\ =& \left< \kappa N , \alpha (s) - m \right> + 1 \end{align*} $$ 整理すると、 $$ \kappa \left< N, \alpha (s) - m \right> = -1 $$ $\rho = 1 / \kappa$に関して表すと、 $$ \begin{equation} \left< N, \alpha (s) - m \right> = - {{ 1 } \over { \kappa }} = - \rho \label{2} \end{equation} $$ 補題に従って、 $$ \begin{align*} & \alpha (s) - m \\ =& \left< \alpha (s) - m , T \right> T + \left< \alpha (s) - m , N \right> N + \left< \alpha (s) - m , B \right> B & \\ =& 0 - \rho N + \left< \alpha (s) - m , B \right> B & \because (1), (2) \end{align*} $$ これで$\left< \alpha (s) - m , B \right>$を見つけるだけである。$\eqref{2}$の両辺を微分すると、 $$ \begin{align*} - \rho^{\prime} =& \left< N , \alpha (s) - m \right>^{\prime} \\ =& \left< N^{\prime} , \alpha (s) - m \right> + \left< N, T \right> \\ =& \left< -\kappa T + \tau B , \alpha (s) - m \right> + 0 \\ =& \tau \left< B , \alpha (s) - m \right> \end{align*} $$ $\sigma = 1/\tau$に関して表すと、 $$ \left< \alpha (s) - m , B \right> = - {{ \rho^{\prime} } \over { \tau }} = - \sigma \rho^{\prime} $$ 最後に、以下を得る。 $$ \alpha (s) - m = - \rho N - \sigma \rho^{\prime} B $$

$r^{2}$に関する公式は、以下のように導出される。 $$ \begin{align*} r^{2} =& \left< \alpha (s) - m , \alpha (s) - m \right> \\ =& \left< -\rho N - \rho^{\prime} \sigma B , -\rho N - \rho^{\prime} \sigma B \right> \\ =& \rho^{2} \left< N, N \right>^{2} + 2 \rho \rho^{\prime} \sigma \left< N, B \right> + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} \left< B, B \right>^{2} \\ =& \rho^{2} \cdot 1 + 2 \rho \rho^{\prime} \sigma \cdot 0 + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} \\ =& \rho^{2} + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} \end{align*} $$

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