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勾配の回転は常にゼロです 📂数理物理学

勾配の回転は常にゼロです

公式

スカラー関数 TTの勾配のカールは常に 0\mathbf{0}である

∇×(∇T)=0 \nabla \times (\nabla T) = \mathbf{0}

証明

直交座標系でのTTの勾配は次のようになる。

∇T=∂T∂xx^+∂T∂yy^+∂T∂zz^ \nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\hat{\mathbf{ x}} +\frac{\partial T}{\partial y}\hat{\mathbf{y}} +\frac{\partial T}{\partial z}\hat{\mathbf{z}}

∇T\nabla Tのカールを求めれば次のようになる。

∇×(∇T)=∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂z∂T∂x∂T∂y∂T∂z∣=(∂2T∂y∂z−∂2T∂z∂y)x^+(∂2T∂x∂z−∂2T∂z∂x)y^+(∂2T∂x∂y−∂2T∂y∂x)z^=0 \begin{align*} \nabla \times (\nabla T) &= \begin{vmatrix} \displaystyle \hat{\mathbf{x}} &\hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial }{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial }{\partial z} \\ \displaystyle \frac{\partial T}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial T}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial T}{\partial z} \end{vmatrix} \\ &= \left( \frac{\partial^2 T}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^2 T}{\partial z \partial y} \right) \hat {\mathbf{x}} + \left( \frac{\partial ^2 T}{\partial x \partial z}-\frac{\partial ^2 T}{\partial z \partial x} \right) \hat {\mathbf{y}} + \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x \partial y} -\frac{\partial^2 T}{\partial y \partial x} \right) \hat {\mathbf{z}} \\ &= \mathbf{0} \end{align*}

結果はTTに関わらず全ての成分が00なので、勾配の回転は常に0\mathbf{0}である。

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