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マックスウェルの方程式から電磁波光の速度を求める 📂電磁気学

マックスウェルの方程式から電磁波光の速度を求める

公式

真空中のマックスウェル方程式

∇⋅E=0∇⋅B=0∇×E=−∂B∂t∇×B=μ0ϵ0∂E∂t \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \\[1em] \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\[1em] \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\[1em] \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align}

一次元波動方程式

∂2f∂x2=1v2∂2f∂t2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}

三次元波動方程式

∇2f=1v2∂2f∂t2 \nabla ^2 f = \frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2 f}{\partial t^2}

導出

マックスウェルの方程式からE\mathbf{E}とB\mathbf{B}に関する波動方程式の形を導き出すことが目的だ。(3)(3)にクル(∇×)(\nabla \times)をとると、

∇×(∇×E)=∇×(−∂B∂t)=−∂∂t(∇×B)=−∂∂t(μ0ϵ0∂E∂t)=−μ0ϵ0∂2E∂t2 \begin{align*} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) &= \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) \\ &= -\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \\ &= -\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \end{align*}

三番目の等号は(4)(4)により成り立つ。同様に(4)(4)にクルをとると、

∇×(∇×B)=∇×(μ0ϵ0∂E∂t)=μ0ϵ0∂∂t(∇×E)=−μ0ϵ0∂2B∂t2 \begin{align*} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) &= \nabla \times \left( \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \\ &= \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}) \\ &= -\mu_{0}\epsilon_{0} \frac {\partial ^2 \mathbf{B} }{\partial t^2} \end{align*}

そして∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}だから、

∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E=−μ0ϵ0∂2E∂t2 \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}

∇×(∇×B)=∇(∇⋅B)−∇2B=−μ0ϵ0∂2B∂t2 \nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B})-\nabla^2\mathbf{B}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}

最後に∇⋅E=0\nabla \cdot \mathbf{E}=0、∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B}=0だから、

∇2E=μ0ϵ0∂2E∂t2 \nabla ^2 \mathbf{E} = \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}

∇2B=μ0ϵ0∂2B∂t2 \nabla ^2 \mathbf{B} = \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}

これでマックスウェルの方程式からE\mathbf{E}とB\mathbf{B}が分離された。見ての通り、三次元波動方程式の形をしていることが分かる。驚くべきことに、電磁波の速度は1v2=μ0ϵ0\dfrac{1}{v^2}=\mu_{0}\epsilon_{0}によりv=1μ0ϵ0=3.00×108m/sv=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}=3.00\times 10^8 m/sと決まり、これは光の速度と同じである。つまり、光は電磁波の一種であり、その速度は一定であると推測できる。