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対数関数の定義

説明

ログは簡単な定義に反して、数学全般で非常に多くの意味を持つ。底^baseは正の数なら何でも良いが、普通は上の定義のようにオイラー定数 $e$ を使うことが多い。教科書や工学では、底が $10$ の常用対数 $\log_{10}$ と区別するために、自然対数 $\ln$ と表されるが、自然科学に近いほど単に $\log$ と区別なく書かれるようになる。

整数論

解析的数論では、ログはマンゴルト関数の級数そのものであり、算術関数の微分を形式的に定義する際にも登場する。

情報理論

コンピュータ科学や情報理論では、単位としてビット^bitを多用するため、ログの底も主に $2$ であり、自然科学の文献とは異なり、当然のように $\log = \log_{2}$ を使用する。特に情報理論では、「情報」という概念が満たすべき複数の条件を満たす機能として指摘される。

複素関数への拡張 ¹

ビルドアップ

指数関数の歴史をログ $\log_{\mathbb{C}} : \mathbb{C} \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{C}$ としてみよう。もし全ての $z \in \mathbb{C} \setminus \left\{ 0 \right\}$ に対して $z = e^w$ ならば、実数で定義されたログ $\log_{\mathbb{C}}$ に対比して以下のように表せる。 $$ \log_{\mathbb{C}} z := w(z) $$ ただし、これは $z = r e^{i \theta}$ の偏角 $\arg z = \theta$ に応じて無限に多くの値に対応するため、厳密には関数ではない。極座標表現で見ると $w := u + iv$ に対して $$ z = e^{w} \implies r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = e^{u} \left( \cos v + i \sin v \right) $$ 実部と虚部を別々に考えると $$ r = e^{u} \\ \sin \theta = \sin v $$ 従って $k \in \mathbb{Z}$ に対して $$ u = \log_{\mathbb{R}} r \\ v = \theta + 2 k \pi $$ まとめると $$ \log_{\mathbb{C}} z = \log_{\mathbb{R}} |z| + i \left( \arg z + 2 k \pi \right) $$ 先に述べたように、$\log_{\mathbb{C}}$ は $k \in \mathbb{Z}$ ほど多くの値を持つため、関数ではない。$k$ により、すなわち一周するごとに生じる $\mathbb{C} \setminus \left\{ 0 \right\}$ の部分集合をログのブランチ^branchと呼ぶ。特に $k=0$ の場合を主ブランチ^{principal Branch}と呼び、次のように大文字 $L$ を使ってログ関数 $\text{Log}$ を再定義する。

拡張

$\text{Log} : \mathbb{C} \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{C}$ を次のように定義する。 $$ \text{Log} z := \log_{\mathbb{R}} |z| + i \arg z $$

性質

1. $(\log x)^{\prime \prime} = -\dfrac{1}{x^{2}}$であるため、凹関数である。

2. 次の不等式が成立する。

$$ 1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x \le x - 1\qquad \text{ for } x \gt 0 $$