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三角関数の定義 📂関数

三角関数の定義

概要

三角関数は直角三角形の底角に三角比を対応させた関数だ。

定義

三角比

三角関数のサイン、コサインsin⁡,cos⁡:R→R\sin, \cos : \mathbb{R} \to \mathbb{R}は以下のように定義される。

sin⁡θ:=yx2+y2cos⁡θ:=xx2+y2 \sin \theta := {{ y } \over { \sqrt{x^{2} + y^{2}} }} \\ \cos \theta := {{ x } \over { \sqrt{x^{2} + y^{2}} }}

これにより、セカント、コセカント、タンジェント、コタンジェントは次のように定義される。

tan⁡θ:=sin⁡θcos⁡θ,cos⁡θ≠0cot⁡θ:=cos⁡θsin⁡θ,sin⁡θ≠0sec⁡θ:=1cos⁡θ,cos⁡θ≠0csc⁡θ:=1sin⁡θ,sin⁡θ≠0 \begin{align*} \tan \theta &:= {{ \sin \theta } \over { \cos \theta }} \qquad, \cos \theta \ne 0 \\ \cot \theta &:= {{ \cos \theta } \over { \sin \theta }} \qquad, \sin \theta \ne 0 \\ \sec \theta &:= {{ 1 } \over { \cos \theta }} \qquad, \cos \theta \ne 0 \\ \csc \theta &:= {{ 1 } \over { \sin \theta }} \qquad, \sin \theta \ne 0 \end{align*}

複素関数への拡張 1

三角関数のサイン、コサインsin⁡,cos⁡:C→C\sin, \cos : \mathbb{C} \to \mathbb{C}は以下のように定義される。

sin⁡z:=1i2(eiz−e−iz)cos⁡z:=12(eiz+e−iz) \sin z := {{ 1 } \over { i2 }} \left( e^{iz} - e^{-iz} \right) \\ \cos z := {{ 1 } \over { 2 }} \left( e^{iz} + e^{-iz} \right)

基本性質

参照

  1. Osborne (1999). 複素変数及びその応用: p28. ↩︎