📂動力学

エイズ伝播モデル

概要

エイズ^AIDS、いわゆる後天性免疫不全症候群は、HIVというウイルスによって引き起こされる疾患で、何十年も人類を悩ませてきた感染症だ。エイズの伝播経路には、同性愛、異性愛、薬物使用などがあり、その数学的モデリングは必然的に全人口の構造を含むことになる。しかし、まずは最も単純なカスティーリョ^Castillo、カベス^Chavezなどによって紹介されたODEモデルを紹介する。

モデル ¹

$$ \begin{align*} T(t) =& S(t) + I(t) + Y(t) \\ {{d S} \over {d t}} =& - \mu S + \Lambda - \lambda {{ C(T) } \over { T }} (I + Y) S \\ {{d I} \over {d t}} =& - \mu I + p \lambda {{ C(T) } \over { T }} (I + Y) S - k_{I} I \\ {{d Y} \over {d t}} =& - \mu Y + (1-p) \lambda {{ C(T) } \over { T }} (I + Y) S - k_{Y} Y \\ {{d A} \over {d t}} =& - (\mu + \delta) A + k_{I} I \\ {{d Z} \over {d t}} =& - \mu Z + k_{Y} Y \end{align*} $$

変数

• $S(t)$: $t$の時点でエイズに感染する可能性がある個体数を表す。
• $I(t)$: $t$の時点でエイズを伝染させうる集団のうち、特に重症化している個体数を表す。
• $Y(t)$: $t$の時点でエイズを伝染させうる集団のうち、特に軽症化している個体数を表す。
• $A(t)$: $t$の時点で重症のエイズに進行した個体数を表す。
• $Z(t)$: $t$の時点で軽症のエイズに進行した個体数を表す。
• $T(t)$: $t$の時点で実際にエイズ伝播に関与している個体数を表す。

関数

• $C(T)$: 単位時間ごとに個々の人が持つ性的パートナー数の平均である。

パラメータ

• $\Lambda>0$: 移住、出生を含む人口流入量で、特に一定である必要はない。
• $\lambda>0$: エイズの伝播率である。
• $p \in [0,1]$: 感染時に重症化する割合である。$(1-p)$は自然に軽症化する割合となる。
• $k_{I}, k_{Y}>0$: 感染者が無症状期を経て症状期に達する割合である。
• $\mu>0$: エイズに関係ない基本的な死亡率である。
• $\delta>0$: エイズによる死亡率である。

説明 ²

エイズの特徴の一つは、治療が難しく、非常に長い無症状期を持つ慢性疾患であることだ。最初に風邪のような症状を経験した後、通常8~10年間は症状がなく、その間にも体内のHIVは増殖し続け、エイズに進行する。もちろん、この時点で、症状が現れる前に法律で日常活動に制限がかかることもある。

数学的モデルでは、$A,Z$がもう性的活動を行わないという仮定を設けている。したがって抽象的には、一般的なSIRモデルの$R(t)$と区別されないが、重症と軽症に分け、その死亡率に差を設けているだけである。方程式では、特に$A$の死亡率が高いと反映されている。

改善

パラメータ$k_{I}, k_{Y}$は、エイズの進行量を表す意味で、この期間が人によって大きく異なるため、現実性が低いとしてモデルを改善しよう。無症状期間を滞在期間^{sojourn Time}と呼ぶ場合、この滞在時間は’HIVがエイズに進行するまでの生存時間’として、生存関数を導入して反映することができる。

生存関数: $P(0)=1$であり、減少しない関数$P : [0,\infty) \to [0,\infty)$を生存関数と定義する。

もし $$ \int_{0}^{\infty} P(s) dx = \tau < \infty $$ とすると、この$\tau$は平均滞在期間を意味する。確率密度関数 $f(s)$が与えられた場合には$f(s) = - d P(s) / ds$のように生存関数を定義することができるので、滞在期間に従うさまざまな分布を考えることができる。特にガンマ分布やワイブル分布が広く使用される。これにより、上述のモデルでは$I$、$Y$がある生存関数$P_{I}, P_{Y}$を導入して以下のように変更されることができる。 $$ \begin{align*} I(t) =& I_{0} + p \int_{0}^{t} \lambda {{ C(T) } \over { T }} (I + Y) S e^{-\mu (t-s)} P_{I} (t-s) ds \\ Y(t) =& Y_{0} + (1-p) \int_{0}^{t} \lambda {{ C(T) } \over { T }} (I + Y) S e^{-\mu (t-s)} P_{Y} (t-s) ds \end{align*} $$