📂動力学

ポアンカレ写像

定義 ¹

ユークリッド空間$\mathbb{R}^{n}$ とオープンセット$U \subset \mathbb{R}^{n}$ で$r$回微分可能な関数$f : U \to \mathbb{R}^{n}$について、次のようなベクトル場が微分方程式として与えられているとする。 $$ \dot{x} = f(x) $$ このフローを$\phi_t \left( \cdot \right)$と表し、ベクトル場を横切る$n-1$次元曲面$\Sigma$を考えよう。オープンセット$V \subset \Sigma$に対し、次のようなマップ$P$をポアンカレマップ^{poincaré Map}と呼ぶ。 $$ \begin{align*} P : V &\to \Sigma \\ x &\mapsto \phi_{\tau (x)} (x) \end{align*} $$ ここで、$\tau (x)$は$x$から出発して再び$\Sigma$に戻る時間を意味する。

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• $\Sigma$の全ての点で$f(x) \cdot n (x) \ne 0$なら、$\Sigma$がベクトル場を横切る^transverseという。

説明

$P$によって、$\Sigma$上のそのフロー$\phi$は中間過程を省略して$\Sigma$を彷徨うことになる。

デンマでの遠距離攻撃を防ぐ平面制約と似たイメージだ。ポアンカレマップは、ベクトル場で表されたシステムを$\Sigma$で１次元低くしたマップである。一次元が消えるので失われる情報も多いが、全体的な様相に関心があればどんな問題でも使ってみる価値がある。