一般的な直線、平面、球の定義
📂幾何学
一般的な直線、平面、球の定義
定義
1
ベクトル空間
X
X
X
が与えられているとする。
次の方程式を満たす点の集まり
L
⊂
X
L \subset X
L
⊂
X
又は
α
(
t
)
\alpha (t)
α
(
t
)
自体を点
x
0
∈
X
\mathbf{x}_{0} \in X
x
0
∈
X
を通り、ベクトル
v
≠
0
\mathbf{v} \ne 0
v
=
0
と平行な
直線
と定義する。
α
(
t
)
=
x
0
+
t
v
,
t
∈
R
\alpha (t) = \mathbf{x}_{0} + t \mathbf{v} \qquad , t \in \mathbb{R}
α
(
t
)
=
x
0
+
t
v
,
t
∈
R
次の方程式を満たす点の集まり
P
⊂
X
P \subset X
P
⊂
X
を点
x
0
∈
X
\mathbf{x}_{0} \in X
x
0
∈
X
を通り、ベクトル
n
≠
0
\mathbf{n} \ne 0
n
=
0
に垂直な
平面
と定義する。
<
x
−
x
0
,
n
>
=
0
\left< \mathbf{x} - \mathbf{x}_{0} , \mathbf{n} \right> = \mathbf{0}
⟨
x
−
x
0
,
n
⟩
=
0
次の方程式を満たす点の集まり
S
⊂
X
S \subset X
S
⊂
X
を中心
x
0
∈
X
\mathbf{x}_{0} \in X
x
0
∈
X
、
半径
r
>
0
r > 0
r
>
0
の
球体
と定義する。
<
x
−
x
0
,
x
−
x
0
>
=
r
2
\left< \mathbf{x} - \mathbf{x}_{0} , \mathbf{x} - \mathbf{x}_{0} \right> = r^{2}
⟨
x
−
x
0
,
x
−
x
0
⟩
=
r
2
<
⋅
,
⋅
>
\left< \cdot , \cdot \right>
⟨
⋅
,
⋅
⟩
は
内積
だ。
線であり、平面であり、球体であるもの
マジで笑
Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p8~10.
↩︎