📂幾何学

一般的な直線、平面、球の定義

定義 ¹

ベクトル空間 $X$ が与えられているとする。

1. 次の方程式を満たす点の集まり $L \subset X$ 又は $\alpha (t)$ 自体を点 $\mathbf{x}_{0} \in X$ を通り、ベクトル $\mathbf{v} \ne 0$ と平行な直線と定義する。 $$ \alpha (t) = \mathbf{x}_{0} + t \mathbf{v} \qquad , t \in \mathbb{R} $$
2. 次の方程式を満たす点の集まり $P \subset X$ を点 $\mathbf{x}_{0} \in X$ を通り、ベクトル $\mathbf{n} \ne 0$ に垂直な平面と定義する。 $$ \left< \mathbf{x} - \mathbf{x}_{0} , \mathbf{n} \right> = \mathbf{0} $$
3. 次の方程式を満たす点の集まり $S \subset X$ を中心 $\mathbf{x}_{0} \in X$ 、半径 $r > 0$ の球体と定義する。 $$ \left< \mathbf{x} - \mathbf{x}_{0} , \mathbf{x} - \mathbf{x}_{0} \right> = r^{2} $$

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• $\left< \cdot , \cdot \right>$ は内積だ。

線であり、平面であり、球体であるもの

マジで笑