独立な正規分布およびカイ二乗分布からのスチューデントのt分布の導出
📂確率分布論独立な正規分布およびカイ二乗分布からのスチューデントのt分布の導出
定理
二つの確率変数 W,V が独立で、W∼N(0,1)、V∼χ2(r) である場合、
T=V/rW∼t(r)
- N(μ,σ2) は平均が μ で、分散が σ2 の正規分布だ。
- χ2(r) は自由度 r のカイ二乗分布だ。
- t(r) は自由度 r のt-分布だ。
説明
この定理を統計学だけで接近するなら、実用性や歴史的に見てむしろt-分布の定義に近い。
導出
戦略:ジョイント確率密度関数で直接演繹する。
正規分布の定義:μ∈R と σ>0 に対して、以下の確率密度関数を持つ連続確率分布 N(μ,σ2) を正規分布という。
f(x)=2πσ1exp[−21(σx−μ)2],x∈R
カイ二乗分布の定義:自由度 r>0 に対して、以下の確率密度関数を持つ連続確率分布 χ2(r) をカイ二乗分布という。
f(x)=Γ(r/2)2r/21xr/2−1e−x/2,x∈(0,∞)
W,V の確率密度関数 f1,f2 が以下のように与えられるため、
f1(w):=2π1e−w2/2f2(v)=Γ(2r)22r1v2r−1e−2v
W と V の[ジョイント]確率密度関数(../1449) h は w∈R、v∈(0,∞) に対して以下の通りである。
h(w,v)=2π1e−w2/2Γ(2r)22r1v2r−1e−2v
今、T:=V/rW そして U:=V とすると、w=tu/r そして v=u であるため、
∣J∣=ru2urt01=ru
従って、T,U のジョイント確率密度関数は
g(t,u)==h(v/rw,u)∣J∣2πΓ(r/2)2r/21ur/2−1exp{−2u(1+rt2)}ru
T のマージナル確率密度関数は
g(t)==∫−∞∞g(t,u)du∫0∞2πrΓ(r/2)2r/21u(r+1)/2−1exp{−2u(1+rt2)}du
z:=2u(1+rt2) に置換えると、
g(t)======∫0∞2πrΓ(r/2)2r/21(1+t2/r2z)(r+1)/2−1e−z(1+t2/r2)dzπrΓ(r/2)1∫0∞22r/21z(r+1)/2−1(1+t2/r2)(r+1)/2−1e−z(1+t2/r2)dzπrΓ(r/2)1∫0∞2(r+1)/21z(r+1)/2−1(1+t2/r2)(r+1)/2e−zdzπrΓ(r/2)1∫0∞z(r+1)/2−1(1+t2/r1)(r+1)/2e−zΓ((r+1)/2)Γ((r+1)/2)dzπrΓ(r/2)Γ((r+1)/2)(1+t2/r1)(r+1)/2∫0∞Γ((r+1)/2)1z(r+1)/2−1e−zdzπrΓ(r/2)Γ((r+1)/2)(1+t2/r1)(r+1)/2⋅1
積分関数がガンマ分布 Γ(2r+1,1) の確率密度関数となり、複雑な計算を回避できる。整理すると、
g(t)=πrΓ(r/2)Γ((r+1)/2)(1+t2/r)(r+1)/21
これは自由度r のt-分布の確率密度関数であるため、
T=V/rW∼t(r)
■