📂幾何学

一般的な角度と垂直の定義

定義 ¹

$V$ をベクトル空間とする。二つのベクトル $\mathbb{u}, \mathbb{v} \in V$ に対して、以下を満たす $\theta$ を二つのベクトルの間の角度^angleと定義する。 $$ \cos \theta = {{ \left< \mathbb{u}, \mathbb{v} \right> } \over { \left| \mathbb{u} \right| \left| \mathbb{v} \right| }} $$ もし二つのベクトル $\mathbb{u}, \mathbb{v}$ が $\left< \mathbb{u}, \mathbb{v} \right> = 0$ を満たせば、$\mathbb{u}$ は $\mathbb{v}$ に直交^orthogonalまたは垂直^{perpendicular}と言い、$\mathbb{u} \perp \mathbb{v}$ のように示される。

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• $\left< \cdot, \cdot \right>$ は内積で、$| \cdot |$ はベクトルの長さであり、$\left| \mathbb{u} \right| := \sqrt{ \left< \mathbb{u}, \mathbb{u} \right> }$ のように計算される。

説明

誰もが同意するわけではないが、直交は抽象的なニュアンスを持ち、垂直は幾何学的な感じがする。基本的にはどちらの言葉を使っても構わないが、texで記号 $\perp$ が \perp を使用するほどに’垂直’が大幅にマイナーな表現ではないことだけは覚えておくこと。

教育課程で内積をベクトルの大きさと内角と考えていたのとは違い、多次元ユークリッド空間 $V = \mathbb{R}^{n}$ などでは、むしろ内積によって角度を考える。このように一般化された定義によると、特に’座標’という言葉なしに二つのベクトルの’方向性の違い’を考えることができる。

応用

機械学習をはじめとする応用数学では、このようにしてコサイン類似度^{cosine Similarity}のような測定法を使用することもある。例えば、二つの文書A、Bで特定の単語a、b、cの頻度をベクトルとして表した場合、二つの文書がどれだけ類似しているかを判断する尺度になり得る。

もし文書Bの長さが文書Aよりも圧倒的に長い場合、例えば100ページと1000ページであれば、単語の頻度も自然とそれに比例するため、単なる頻度の比較は意味がなくなる。この時、コサイン類似度を使用すれば、単なる回数ではなく、二つの文書の方向性自体を比較することになり、より合理的な結果を得ることができるだろう。