数理統計学における正則性条件
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概要
数学を使用する科目では、正則性regularity conditionsとは、一般的に応用の範囲が広く、理論的な展開を容易にする条件を指します。数理統計学では、以下のようになります。
前提
パラメーターθ∈Θに対する確率密度関数がf(x;θ)である確率変数Xを考える。Xと同じ分布からiidで抽出されたランダムサンプルX1,⋯,Xnは、同じ確率密度関数f(x;θ)と実現x:=(x1,⋯,xn)を持つ。以下の関数Lは尤度関数likelihood functionと呼ばれる。
L(θ;x):=k=1∏nf(xk;θ)
最後に、θ0をθの真の値としましょう。
- (R0): 確率密度関数fはθに対して単射です。式では、以下を満たします。
θ=θ′⟹f(xk;θ)=f(xk;θ′)
- (R1): 確率密度関数fは、すべてのθに対して同じサポートを持つ。
- (R2): 真の値θ0はΩの内点です。
- (R3): 確率密度関数fはθに対して二回微分可能です。
- (R4): 積分∫f(x;θ)dxはθに対して二回微分可能であり、微分は積分記号との交換が可能です。
- (R5): 確率密度関数fはθに対して三回微分可能です。さらに、すべてのθ∈Θに対して、Eθ0[M(X)]<∞を満たしつつ、以下を満たす定数c>0と関数M(x)が存在します。
∂θ3∂3logf(x;θ)≤M(x),∀x∈SX,∀θ∈(θ0−c,θ0+c)