📂動力学

力学区画モデル

概要 ¹

伝染病の区分モデルは伝染病の流行に関するモデルであり、人口動態に伝染病を加え、「人口」をいくつかの区分に分ける。

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• 疫学は伝染病を扱う学問であり、海老寿司屋で扱われる他の力学とは関係がない。

説明

カーマックとマッケンドリックによっていわゆるSIRモデルが考案されてから、多くの変化と発展があり、このアイデアの源流にある全てのモデルは基本的に伝染病の区分モデルと考えられる。最も代表的なモデルは、前述した最初のSIRモデルで、全人口 $N$ を次の三つの区分に分けた:

• $S$ 感受性: 健康で、病気になりうる状態
• $I$ 感染: 病気で、病気を広げる状態
• $R$ 回復: 回復し、免疫を持つ状態

これらは伝染率 $\beta > 0$ と回復率 $\mu > 0$ に関して、次のように単純な自立システムとして表される。

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - \beta I S \\ {{d I} \over {d t}} =& \beta S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*} $$

双線型システムの一般的構造 ²

ベレッタとカパッソは、多くの派生モデルの一般的な形を次のように定式化した。 $$ {{dz} \over {dt}} = \text{diag} (z) (e + A z) + c $$

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• $n$ は区分の数。
• $z(t) \in \mathbb{R}^{n}$ は時間 $t$ に依存する区分のベクトル。
• $e, c \in \mathbb{R}^{n}$ は定数ベクトル。
• $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ は競合係数として表される定数行列。

なぜこの形になるのか?

通常、システムを導出するときは質量作用の法則に基づき、$A$ と $B$ が出会い反応するからである。これらは理想的な空間の中で一定の比率で出会い反応し、その程度はそれぞれの量に比例するので、反応する量も $[A][B]$ に比例する。したがって、少なくとも各区分は２回は乗算されなければならないが、実際には三つの区分が集まり共に反応する現象は珍しい。したがって、ほとんどの線形モデルは双線型で表されることができる。

例

単純なSIRモデルを例にとると、 $$ {{ d } \over { dt }} \begin{bmatrix} S(t) \\ I(t) \\ R(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S(t) & 0 & 0 \\ 0 & I(t) & 0 \\ 0 & 0 & R(t) \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 0 \\ -\mu \\ \mu \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -\beta & 0 \\ \beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S(t) \\ I(t) \\ R(t) \end{bmatrix} \right) + \mathbf{0} $$ このように展開することができる。 $$ e = \begin{bmatrix} 0 \\ -\mu \\ \mu \end{bmatrix} \\ A = \begin{bmatrix} 0 & -\beta & 0 \\ \beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ c = \mathbf{0} $$